Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{- x} \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 1.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 1.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Этап 1.1.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Этап 1.1.5.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Этап 1.1.5.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 1.1.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Этап 1.1.6.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

Этап 1.1.6.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Разложим $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2 e^{- x}$ из $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2 e^{- x}$ из $- 2 e^{- x} \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $2 e^{- x}$ из $- 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $2 e^{- x}$ из $2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Этап 2.2.3

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $- \sin (x) - \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- \sin (x) - \cos (x)$ к $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.2

Разделим дроби.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Сократим общий множитель.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.5.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.6

Разделим дроби.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.5.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.5.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Этап 2.5.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Этап 2.5.2.10

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \tan (x) = 1$

Этап 2.5.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.5.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.5.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Этап 2.5.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Этап 2.5.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 2.5.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.13.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.14

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 2.5.2.15

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.15.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 2.5.2.15.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.5.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.5.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.5.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.5.2.17

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.17.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 2.5.2.17.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.17.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.17.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.17.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.5.2.17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.17.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 2.5.2.17.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 2.5.2.17.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.5.2.18

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$\frac{3 π}{4} + π n$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ в интервале $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Этап 5.3

При $x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ производная имеет вид $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Этап 6.3

При $x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ производная имеет вид $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Этап 8