Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 {(x^{2} - 75)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 {(x^{2} - 75)}^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 75)}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 75)}^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 75$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 75$ .

$3 (2 (x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 ((x^{2} - 75) \frac{d}{d x} [x^{2} - 75])$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 75$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75]$ .

$6 (x^{2} - 75) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 75])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x^{2} - 75) (2 x + \frac{d}{d x} [- 75])$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 75$ является константой относительно $x$ , производная $- 75$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 (x^{2} - 75) (2 x + 0)$

Этап 1.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$6 (x^{2} - 75) (2 x)$

Этап 1.1.3.5.2

Умножим $2$ на $6$ .

$12 (x^{2} - 75) x$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(12 x^{2} + 12 \cdot - 75) x$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x^{2} x + 12 \cdot - 75 x$

Этап 1.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 (x^{1} x^{2}) + 12 \cdot - 75 x$

Этап 1.1.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{1 + 2} + 12 \cdot - 75 x$

Этап 1.1.4.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$12 x^{3} + 12 \cdot - 75 x$

Этап 1.1.4.3.4

Умножим $12$ на $- 75$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 900 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} - 900 x$ .

$12 x^{3} - 900 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} - 900 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} - 900 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3} - 900 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 900 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $12 x$ из $- 900 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 75) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $12 x$ из $12 x (x^{2}) + 12 x (- 75)$ .

$12 x (x^{2} - 75) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 75$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 75$ к $0$ .

$x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 75 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $75$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 75$

Этап 2.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{75}$

Этап 2.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{75}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Этап 2.5.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5 \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 x (x^{2} - 75) = 0$ верно.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$ .

$0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9.6602545$ .

$f' (- 9.6602545) = 12 {(- 9.6602545)}^{3} - 900 \cdot - 9.6602545$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 9.6602545$ в степень $3$ .

$f' (- 9.6602545) = 12 \cdot - 901.49994433 - 900 \cdot - 9.6602545$

Этап 5.2.1.2

Умножим $12$ на $- 901.49994433$ .

$f' (- 9.6602545) = - 10817.99933205 - 900 \cdot - 9.6602545$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 900$ на $- 9.6602545$ .

$f' (- 9.6602545) = - 10817.99933205 + 8694.22905$

Этап 5.2.2

Добавим $- 10817.99933205$ и $8694.22905$ .

$f' (- 9.6602545) = - 2123.77028205$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 2123.77028205$ .

$- 2123.77028205$

Этап 5.3

При $x = - 9.6602545$ производная имеет вид $- 2123.77028205$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 8.6602545, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4.33012725$ .

$f' (- 4.33012725) = 12 {(- 4.33012725)}^{3} - 900 \cdot - 4.33012725$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 4.33012725$ в степень $3$ .

$f' (- 4.33012725) = 12 \cdot - 81.1898946 - 900 \cdot - 4.33012725$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $- 81.1898946$ .

$f' (- 4.33012725) = - 974.27873523 - 900 \cdot - 4.33012725$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 900$ на $- 4.33012725$ .

$f' (- 4.33012725) = - 974.27873523 + 3897.114525$

Этап 6.2.2

Добавим $- 974.27873523$ и $3897.114525$ .

$f' (- 4.33012725) = 2922.83578976$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2922.83578976$ .

$2922.83578976$

Этап 6.3

При $x = - 4.33012725$ производная имеет вид $2922.83578976$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 8.6602545, 0)$ .

Возрастание в области $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 5 \sqrt{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.33012725$ .

$f' (4.33012725) = 12 {(4.33012725)}^{3} - 900 \cdot 4.33012725$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $4.33012725$ в степень $3$ .

$f' (4.33012725) = 12 \cdot 81.1898946 - 900 \cdot 4.33012725$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $81.1898946$ .

$f' (4.33012725) = 974.27873523 - 900 \cdot 4.33012725$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 900$ на $4.33012725$ .

$f' (4.33012725) = 974.27873523 - 3897.114525$

Этап 7.2.2

Вычтем $3897.114525$ из $974.27873523$ .

$f' (4.33012725) = - 2922.83578976$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 2922.83578976$ .

$- 2922.83578976$

Этап 7.3

При $x = 4.33012725$ производная имеет вид $- 2922.83578976$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 5 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(0, 5 \sqrt{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(5 \sqrt{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9.6602545$ .

$f' (9.6602545) = 12 {(9.6602545)}^{3} - 900 \cdot 9.6602545$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $9.6602545$ в степень $3$ .

$f' (9.6602545) = 12 \cdot 901.49994433 - 900 \cdot 9.6602545$

Этап 8.2.1.2

Умножим $12$ на $901.49994433$ .

$f' (9.6602545) = 10817.99933205 - 900 \cdot 9.6602545$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 900$ на $9.6602545$ .

$f' (9.6602545) = 10817.99933205 - 8694.22905$

Этап 8.2.2

Вычтем $8694.22905$ из $10817.99933205$ .

$f' (9.6602545) = 2123.77028205$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $2123.77028205$ .

$2123.77028205$

Этап 8.3

При $x = 9.6602545$ производная имеет вид $2123.77028205$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(5 \sqrt{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(5 \sqrt{3}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 5 \sqrt{3}, 0), (5 \sqrt{3}, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 5 \sqrt{3}), (0, 5 \sqrt{3})$

Этап 10