Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{6 - x - x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 - x - x^{2}}$ в виде ${(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 6 - x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 - x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(6 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.7.3

Перенесем ${(6 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

Этап 1.1.8

По правилу суммы производная $6 - x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 1.1.14

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

Этап 1.1.16

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

Этап 1.1.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.17.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ .

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.17.2

Умножим $- 1 - 2 x$ на $\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.17.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.17.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.17.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (2 x)$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.17.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 + 2 x = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(6 - x - x^{2})}^{1}}}$

Этап 4.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{6 - x - x^{2}}}$

Этап 4.2

Зададим знаменатель в $\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{6 - x - x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{6 - x - x^{2}} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{6 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 - x - x^{2}}$ в виде ${(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим ${(2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(6 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 (6 - x - x^{2}) = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 6 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.6.1

Умножим $4$ на $6$ .

$24 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$24 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Этап 4.3.2.2.1.6.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$24 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$24 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

Этап 4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $24 - 4 x - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1.1.1

Перенесем $24$ .

$- 4 x - 4 x^{2} + 24 = 0$

Этап 4.3.3.1.1.1.2

Изменим порядок $- 4 x$ и $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 24 = 0$

Этап 4.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 24 = 0$

Этап 4.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 24 = 0$

Этап 4.3.3.1.1.4

Вынесем множитель $- 4$ из $24$ .

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 6 = 0$

Этап 4.3.3.1.1.5

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ .

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 6 = 0$

Этап 4.3.3.1.1.6

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 6)$ .

$- 4 (x^{2} + x - 6) = 0$

Этап 4.3.3.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 4.3.3.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 4 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Этап 4.3.3.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 (x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 4.3.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.3.3.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.3.3.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.3.3.4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.3.3.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.3.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 (x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2, - 3$

Этап 4.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{6 - x - x^{2}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$6 - x - x^{2} < 0$

Этап 4.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$6 - x - x^{2} = 0$

Этап 4.5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $6 - x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1

Перенесем $6$ .

$- x - x^{2} + 6 = 0$

Этап 4.5.2.1.1.2

Изменим порядок $- x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 6 = 0$

Этап 4.5.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 6 = 0$

Этап 4.5.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 6 = 0$

Этап 4.5.2.1.4

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 4.5.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 4.5.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} + x - 6) = 0$

Этап 4.5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

$- 2, 3$

Этап 4.5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Этап 4.5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 4.5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4.5.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.5.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.5.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 4.5.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2, - 3$

Этап 4.5.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Этап 4.5.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 4.5.8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$6 - (- 6) - {(- 6)}^{2} < 0$

Этап 4.5.8.1.3

Левая часть $- 24$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.5.8.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.5.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$6 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

Этап 4.5.8.2.3

Левая часть $6$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.5.8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.5.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$6 - (4) - {(4)}^{2} < 0$

Этап 4.5.8.3.3

Левая часть $- 14$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.5.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 4.5.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $x > 2$

Этап 4.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq - 3, x \geq 2$

$(- \infty, - 3] \cup [2, \infty)$

$x \leq - 3, x \geq 2$

$(- \infty, - 3] \cup [2, \infty)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1 + 2 (- 4)}{2 {(6 - (- 4) - {(- 4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1 - 8}{2 {(6 - (- 4) - {(- 4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(6 - (- 4) - {(- 4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(6 + 4 - {(- 4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(6 + 4 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(6 + 4 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $6$ и $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(10 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2.3

Вычтем $16$ из $10$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 4) = \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.3

При $x = - 4$ производная имеет вид $\frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 3)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 3, - \frac{1}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.75$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{1 + 2 (- 1.75)}{2 {(6 - (- 1.75) - {(- 1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1.75$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{1 - 3.5}{2 {(6 - (- 1.75) - {(- 1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $3.5$ из $1$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(6 - (- 1.75) - {(- 1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1.75$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(6 + 1.75 - {(- 1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.2

Возведем $- 1.75$ в степень $2$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(6 + 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3.0625$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(6 + 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $6$ и $1.75$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(7.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.3

Вычтем $3.0625$ из $7.75$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot {4.6875}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.4

Перепишем $4.6875$ в виде ${2.1650635}^{2}$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot {({2.1650635}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7.2.2.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot {2.1650635}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 7.2.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot {2.1650635}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 7.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot 2.1650635}$

Этап 7.2.2.7

Найдем экспоненту.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot 2.1650635}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $2$ на $2.1650635$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{4.33012701}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $- 2.5$ на $4.33012701$ .

$f' (- 1.75) = 0.57735026$

Этап 7.2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 0.57735026$ .

$f' (- 1.75) = 0.57735026$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $0.57735026$ .

$0.57735026$

Этап 7.3

При $x = - 1.75$ производная имеет вид $0.57735026$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 3, - \frac{1}{2})$ .

Возрастание в области $(- 3, - \frac{1}{2})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 0.5, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.75$ .

$f' (0.75) = - \frac{1 + 2 (0.75)}{2 {(6 - (0.75) - {(0.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $2$ на $0.75$ .

$f' (0.75) = - \frac{1 + 1.5}{2 {(6 - (0.75) - {0.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Добавим $1$ и $1.5$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(6 - (0.75) - {0.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $0.75$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(6 - 0.75 - {0.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2.1.2

Возведем $0.75$ в степень $2$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(6 - 0.75 - 1 \cdot 0.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $0.5625$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(6 - 0.75 - 0.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $0.75$ из $6$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(5.25 - 0.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2.3

Вычтем $0.5625$ из $5.25$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot {4.6875}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2.4

Перепишем $4.6875$ в виде ${2.1650635}^{2}$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot {({2.1650635}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8.2.2.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot {2.1650635}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 8.2.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot {2.1650635}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 8.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot 2.1650635}$

Этап 8.2.2.7

Найдем экспоненту.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot 2.1650635}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $2$ на $2.1650635$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{4.33012701}$

Этап 8.2.3.2

Разделим $2.5$ на $4.33012701$ .

$f' (0.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

Этап 8.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0.57735026$ .

$f' (0.75) = - 0.57735026$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.57735026$ .

$- 0.57735026$

Этап 8.3

При $x = 0.75$ производная имеет вид $- 0.57735026$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 0.5, 2)$ .

Убывание на $(- \frac{1}{2}, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{1 + 2 (3)}{2 {(6 - (3) - {(3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{1 + 6}{2 {(6 - (3) - 3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.1.2

Добавим $1$ и $6$ .

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(6 - (3) - 3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(6 - 3 - 3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(6 - 3 - 1 \cdot 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(6 - 3 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $3$ из $6$ .

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(3 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2.3

Вычтем $9$ из $3$ .

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3

При $x = 3$ производная имеет вид $- \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Убывание на $(2, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 3, - \frac{1}{2})$

Убывание на: $(- \infty, - 3), (- \frac{1}{2}, 2), (2, \infty)$

Этап 11