Математический анализ Примеры

$f (x) = 0.001 x^{3} - 0.02 x^{2} + 0.12 x + 0.02$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $0.001 x^{3} - 0.02 x^{2} + 0.12 x + 0.02$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 0.02 x^{2}] + \frac{d}{d x} [0.12 x] + \frac{d}{d x} [0.02]$ .

$\frac{d}{d x} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 0.02 x^{2}] + \frac{d}{d x} [0.12 x] + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.001 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $0.001$ является константой относительно $x$ , производная $0.001 x^{3}$ по $x$ равна $0.001 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.001 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 0.02 x^{2}] + \frac{d}{d x} [0.12 x] + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0.001 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 0.02 x^{2}] + \frac{d}{d x} [0.12 x] + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $0.001$ .

$0.003 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 0.02 x^{2}] + \frac{d}{d x} [0.12 x] + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 0.02 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 0.02$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.02 x^{2}$ по $x$ равна $- 0.02 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.003 x^{2} - 0.02 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [0.12 x] + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0.003 x^{2} - 0.02 (2 x) + \frac{d}{d x} [0.12 x] + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 0.02$ .

$0.003 x^{2} - 0.04 x + \frac{d}{d x} [0.12 x] + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $0.12$ является константой относительно $x$ , производная $0.12 x$ по $x$ равна $0.12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $0.12$ на $1$ .

$0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12 + \frac{d}{d x} [0.02]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $0.02$ является константой относительно $x$ , производная $0.02$ относительно $x$ равна $0$ .

$0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12$ и $0$ .

$f' (x) = 0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12$ .

$0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $0.001$ из $0.003 x^{2} - 0.04 x + 0.12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $0.001$ из $0.003 x^{2}$ .

$0.001 (3 x^{2}) - 0.04 x + 0.12 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $0.001$ из $- 0.04 x$ .

$0.001 (3 x^{2}) + 0.001 (- 40 x) + 0.12 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $0.001$ из $0.12$ .

$0.001 (3 x^{2}) + 0.001 (- 40 x) + 0.001 (120) = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $0.001$ из $0.001 (3 x^{2}) + 0.001 (- 40 x)$ .

$0.001 (3 x^{2} - 40 x) + 0.001 (120) = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $0.001$ из $0.001 (3 x^{2} - 40 x) + 0.001 (120)$ .

$0.001 (3 x^{2} - 40 x + 120) = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $0.001 (3 x^{2} - 40 x + 120) = 0$ на $0.001$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $0.001 (3 x^{2} - 40 x + 120) = 0$ на $0.001$ .

$\frac{0.001 (3 x^{2} - 40 x + 120)}{0.001} = \frac{0}{0.001}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $0.001$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.001 (3 x^{2} - 40 x + 120)}{0.001} = \frac{0}{0.001}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 40 x + 120$ на $1$ .

$3 x^{2} - 40 x + 120 = \frac{0}{0.001}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $0.001$ .

$3 x^{2} - 40 x + 120 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 40$ и $c = 120$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 120)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 40$ в степень $2$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 3 \cdot 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 12 \cdot 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $120$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1440}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $1440$ из $1600$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $160$ в виде $4^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $160$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{40 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{40 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{40 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{10}}{3}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 40$ в степень $2$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 3 \cdot 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 12 \cdot 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $120$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1440}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.3

Вычтем $1440$ из $1600$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $160$ в виде $4^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $160$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{40 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{40 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{40 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{10}}{3}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 40$ в степень $2$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 3 \cdot 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 12 \cdot 120}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $- 12$ на $120$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1440}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.3

Вычтем $1440$ из $1600$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4

Перепишем $160$ в виде $4^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $160$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{40 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{40 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$

Этап 2.8.3

Упростим $\frac{40 \pm 4 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{10}}{3}$

Этап 2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Этап 2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}, \frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}, \frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3}$ .

$\frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}, \frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3}) \cup (\frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3}, \frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}) \cup (\frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.5584817$ .

$f' (3.5584817) = 0.003 {(3.5584817)}^{2} - 0.04 \cdot 3.5584817 + 0.12$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $3.5584817$ в степень $2$ .

$f' (3.5584817) = 0.003 \cdot 12.662792 - 0.04 \cdot 3.5584817 + 0.12$

Этап 5.2.1.2

Умножим $0.003$ на $12.662792$ .

$f' (3.5584817) = 0.03798837 - 0.04 \cdot 3.5584817 + 0.12$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 0.04$ на $3.5584817$ .

$f' (3.5584817) = 0.03798837 - 0.14233926 + 0.12$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $0.14233926$ из $0.03798837$ .

$f' (3.5584817) = - 0.10435089 + 0.12$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 0.10435089$ и $0.12$ .

$f' (3.5584817) = 0.0156491$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0.0156491$ .

$0.0156491$

Этап 5.3

При $x = 3.5584817$ производная имеет вид $0.0156491$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, \frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, \frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(4.5584817, \frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6.66666685$ .

$f' (6.66666685) = 0.003 {(6.66666685)}^{2} - 0.04 \cdot 6.66666685 + 0.12$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $6.66666685$ в степень $2$ .

$f' (6.66666685) = 0.003 \cdot 44.444446\overline{8} - 0.04 \cdot 6.66666685 + 0.12$

Этап 6.2.1.2

Умножим $0.003$ на $44.444446\overline{8}$ .

$f' (6.66666685) = 0.13333334 - 0.04 \cdot 6.66666685 + 0.12$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 0.04$ на $6.66666685$ .

$f' (6.66666685) = 0.13333334 - 0.26666667 + 0.12$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $0.26666667$ из $0.13333334$ .

$f' (6.66666685) = - 0.1\overline{3} + 0.12$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 0.1\overline{3}$ и $0.12$ .

$f' (6.66666685) = - 0.01\overline{3}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.01\overline{3}$ .

$- 0.01\overline{3}$

Этап 6.3

При $x = 6.66666685$ производная имеет вид $- 0.01\overline{3}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(4.5584817, \frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3})$ .

Убывание на $(\frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3}, \frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9.774852$ .

$f' (9.774852) = 0.003 {(9.774852)}^{2} - 0.04 \cdot 9.774852 + 0.12$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $9.774852$ в степень $2$ .

$f' (9.774852) = 0.003 \cdot 95.54773162 - 0.04 \cdot 9.774852 + 0.12$

Этап 7.2.1.2

Умножим $0.003$ на $95.54773162$ .

$f' (9.774852) = 0.28664319 - 0.04 \cdot 9.774852 + 0.12$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 0.04$ на $9.774852$ .

$f' (9.774852) = 0.28664319 - 0.39099408 + 0.12$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $0.39099408$ из $0.28664319$ .

$f' (9.774852) = - 0.10435088 + 0.12$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 0.10435088$ и $0.12$ .

$f' (9.774852) = 0.01564911$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.01564911$ .

$0.01564911$

Этап 7.3

При $x = 9.774852$ производная имеет вид $0.01564911$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, \frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3}), (\frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3}, \infty)$

Убывание на: $(\frac{20 - 2 \sqrt{10}}{3}, \frac{20 + 2 \sqrt{10}}{3})$

Этап 9