Математический анализ Примеры

$f (x) = (x - 2) e^{- 4 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = e^{- 4 x}$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}] + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 4 x$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x$ .

$(x - 2) (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 2) e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 2) e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$(x - 2) e^{- 4 x} \cdot - 4 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $- 4$ влево от $(x - 2) e^{- 4 x}$ .

$- 4 \cdot ((x - 2) e^{- 4 x}) + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.3.4

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 4 (x - 2) e^{- 4 x} + e^{- 4 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x - 2) e^{- 4 x} + e^{- 4 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.1.3.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 (x - 2) e^{- 4 x} + e^{- 4 x} (1 + 0)$

Этап 1.1.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 4 (x - 2) e^{- 4 x} + e^{- 4 x} \cdot 1$

Этап 1.1.3.7.2

Умножим $e^{- 4 x}$ на $1$ .

$- 4 (x - 2) e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 4 x - 4 \cdot - 2) e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 x e^{- 4 x} - 4 \cdot - 2 e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Этап 1.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- 4 x e^{- 4 x} + 8 e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Этап 1.1.4.3.2

Добавим $8 e^{- 4 x}$ и $e^{- 4 x}$ .

$- 4 x e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

Этап 1.1.4.4

Изменим порядок членов.

$- 4 e^{- 4 x} x + 9 e^{- 4 x}$

Этап 1.1.4.5

Изменим порядок множителей в $- 4 e^{- 4 x} x + 9 e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = - 4 x e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$ .

$- 4 x e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $e^{- 4 x}$ из $- 4 x e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{- 4 x}$ из $- 4 x e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} (- 4 x) + 9 e^{- 4 x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $e^{- 4 x}$ из $9 e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} (- 4 x) + e^{- 4 x} \cdot 9 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $e^{- 4 x}$ из $e^{- 4 x} (- 4 x) + e^{- 4 x} \cdot 9$ .

$e^{- 4 x} (- 4 x + 9) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- 4 x} = 0$

$- 4 x + 9 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{- 4 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{- 4 x}$ к $0$ .

$e^{- 4 x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{- 4 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{- 4 x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $- 4 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- 4 x + 9$ к $0$ .

$- 4 x + 9 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- 4 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - 9$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- 4 x = - 9$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - 9$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 9}{- 4}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 9}{- 4}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 4}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{9}{4}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- 4 x} (- 4 x + 9) = 0$ верно.

$x = \frac{9}{4}$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 4 x e^{- 4 x} + 9 e^{- 4 x}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = (x - 2) e^{- 4 x}$ в интервале $(- \infty, \frac{9}{4}) \cup (\frac{9}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{9}{4}) \cup (\frac{9}{4}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{9}{4})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{4}$ .

$f' (\frac{5}{4}) = - 4 (\frac{5}{4}) \cdot e^{- 4 (\frac{5}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (\frac{5}{4}) = 4 (- 1) (\frac{5}{4}) \cdot e^{- 4 (\frac{5}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{5}{4}) = 4 \cdot (- 1 (\frac{5}{4})) \cdot e^{- 4 (\frac{5}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{5}{4}) = - 1 \cdot 5 \cdot e^{- 4 (\frac{5}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (\frac{5}{4}) = - 5 \cdot e^{- 4 (\frac{5}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (\frac{5}{4}) = - 5 \cdot e^{4 (- 1) (\frac{5}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{5}{4}) = - 5 \cdot e^{4 \cdot (- 1 (\frac{5}{4}))} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{5}{4}) = - 5 \cdot e^{- 1 \cdot 5} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (\frac{5}{4}) = - 5 \cdot e^{- 5} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{5}{4}) = - 5 \cdot \frac{1}{e^{5}} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.6

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (\frac{5}{4}) = \frac{- 5}{e^{5}} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{5}{4}) = - \frac{5}{e^{5}} + 9 e^{- 4 (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (\frac{5}{4}) = - \frac{5}{e^{5}} + 9 e^{4 (- 1) (\frac{5}{4})}$

Этап 5.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{5}{4}) = - \frac{5}{e^{5}} + 9 e^{4 \cdot (- 1 (\frac{5}{4}))}$

Этап 5.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{5}{4}) = - \frac{5}{e^{5}} + 9 e^{- 1 \cdot 5}$

Этап 5.2.1.9

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (\frac{5}{4}) = - \frac{5}{e^{5}} + 9 e^{- 5}$

Этап 5.2.1.10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{5}{4}) = - \frac{5}{e^{5}} + 9 (\frac{1}{e^{5}})$

Этап 5.2.1.11

Объединим $9$ и $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (\frac{5}{4}) = - \frac{5}{e^{5}} + \frac{9}{e^{5}}$

Этап 5.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{5}{4}) = \frac{- 5 + 9}{e^{5}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 5$ и $9$ .

$f' (\frac{5}{4}) = \frac{4}{e^{5}}$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $\frac{4}{e^{5}}$ .

$\frac{4}{e^{5}}$

Этап 5.3

При $x = \frac{5}{4}$ производная имеет вид $\frac{4}{e^{5}}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, \frac{9}{4})$ .

Возрастание в области $(- \infty, \frac{9}{4})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{9}{4}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{13}{4}$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - 4 (\frac{13}{4}) \cdot e^{- 4 (\frac{13}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (\frac{13}{4}) = 4 (- 1) (\frac{13}{4}) \cdot e^{- 4 (\frac{13}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{13}{4}) = 4 \cdot (- 1 (\frac{13}{4})) \cdot e^{- 4 (\frac{13}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{13}{4}) = - 1 \cdot 13 \cdot e^{- 4 (\frac{13}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $13$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - 13 \cdot e^{- 4 (\frac{13}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - 13 \cdot e^{4 (- 1) (\frac{13}{4})} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{13}{4}) = - 13 \cdot e^{4 \cdot (- 1 (\frac{13}{4}))} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{13}{4}) = - 13 \cdot e^{- 1 \cdot 13} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $13$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - 13 \cdot e^{- 13} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - 13 \cdot \frac{1}{e^{13}} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.6

Объединим $- 13$ и $\frac{1}{e^{13}}$ .

$f' (\frac{13}{4}) = \frac{- 13}{e^{13}} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{13}{4}) = - \frac{13}{e^{13}} + 9 e^{- 4 (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - \frac{13}{e^{13}} + 9 e^{4 (- 1) (\frac{13}{4})}$

Этап 6.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{13}{4}) = - \frac{13}{e^{13}} + 9 e^{4 \cdot (- 1 (\frac{13}{4}))}$

Этап 6.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{13}{4}) = - \frac{13}{e^{13}} + 9 e^{- 1 \cdot 13}$

Этап 6.2.1.9

Умножим $- 1$ на $13$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - \frac{13}{e^{13}} + 9 e^{- 13}$

Этап 6.2.1.10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - \frac{13}{e^{13}} + 9 (\frac{1}{e^{13}})$

Этап 6.2.1.11

Объединим $9$ и $\frac{1}{e^{13}}$ .

$f' (\frac{13}{4}) = - \frac{13}{e^{13}} + \frac{9}{e^{13}}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{13}{4}) = \frac{- 13 + 9}{e^{13}}$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Добавим $- 13$ и $9$ .

$f' (\frac{13}{4}) = \frac{- 4}{e^{13}}$

Этап 6.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (\frac{13}{4}) = - \frac{4}{e^{13}}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{4}{e^{13}}$ .

$- \frac{4}{e^{13}}$

Этап 6.3

При $x = \frac{13}{4}$ производная имеет вид $- \frac{4}{e^{13}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{9}{4}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{9}{4}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, \frac{9}{4})$

Убывание на: $(\frac{9}{4}, \infty)$

Этап 8