Математический анализ Примеры

$x = 1 + e^{2 t}$ $y = e^{t}$

Этап 1

Составим параметрическое уравнение для $x (t)$ , чтобы решить это уравнение в отношении $t$ .

$x = 1 + e^{2 t}$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $1 + e^{2 t} = x$ .

$1 + e^{2 t} = x$

Этап 3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$e^{2 t} = x - 1$

Этап 4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 t}) = \ln (x - 1)$

Этап 5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $\ln (e^{2 t})$ , вынося $2 t$ из логарифма.

$2 t \ln (e) = \ln (x - 1)$

Этап 5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$2 t \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 t = \ln (x - 1)$

Этап 6

Разделим каждый член $2 t = \ln (x - 1)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $2 t = \ln (x - 1)$ на $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Этап 7

Заменим $t$ в уравнении на $y$ , чтобы получить уравнение, выраженное через $x$ .

$y = e^{\frac{\ln (x - 1)}{2}}$

Этап 8

Упростим $e^{\frac{\ln (x - 1)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{\ln (x - 1)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (x - 1)$ .

$y = e^{\frac{1}{2} \ln (x - 1)}$

Этап 8.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x - 1)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$y = e^{\ln ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 8.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$y = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$