Математический анализ Примеры

$y = \ln (x) \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{1}{x}$

Этап 1.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{x}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x) \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Этап 2.2.2

$- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Этап 2.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Этап 2.2.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Этап 2.2.5

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sin (x)}{x} - (\ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы записать $- \frac{\sin (x)}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{x}$ на $\frac{x}{x}$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x \cdot x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x^{1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1 + 1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{2}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) x + x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.4

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - 1 \cdot x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.6

Вычтем $x \sin (x)$ из $- x \sin (x)$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.7

Чтобы записать $- \ln (x) \cos (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \ln (x) \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.8

Объединим $- \ln (x) \cos (x)$ и $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} \cos (x) \ln (x) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x \sin (x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x))$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Этап 2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))}{x^{2}}$

Этап 2.4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

Этап 2.4.9

Перепишем $- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ в виде $- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

Этап 2.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x)}{x^{2}}$