Математический анализ Примеры

По правилу суммы производная ${\displaystyle 1+\frac{3}{t+3}-\frac{18}{{(t+3)}^2}}$ по ${\displaystyle t}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[1\right]+\frac{d}{dt}\left[\frac{3}{t+3}\right]+\frac{d}{dt}[-\frac{18}{{(t+3)}^2}]}$.

Поскольку ${\displaystyle 1}$ является константой относительно ${\displaystyle t}$, производная ${\displaystyle 1}$ относительно ${\displaystyle t}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle t}$, производная ${\displaystyle \frac{3}{t+3}}$ по ${\displaystyle t}$ равна ${\displaystyle 3\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{t+3}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{t+3}}$ в виде ${\displaystyle {(t+3)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[f\left(g\left(t\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(t\right)\right)g\prime \left(t\right)}$, где ${\displaystyle f\left(t\right)=t^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(t\right)=t+3}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle t+3}$ по ${\displaystyle t}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t\right]+\frac{d}{dt}\left[3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{t}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle t}$, производная ${\displaystyle 3}$ относительно ${\displaystyle t}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 0}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 3}$.

Поскольку ${\displaystyle -18}$ является константой относительно ${\displaystyle t}$, производная ${\displaystyle -\frac{18}{{(t+3)}^2}}$ по ${\displaystyle t}$ равна ${\displaystyle -18\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{{(t+3)}^2}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{{(t+3)}^2}}$ в виде ${\displaystyle {\left({(t+3)}^2\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[f\left(g\left(t\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(t\right)\right)g\prime \left(t\right)}$, где ${\displaystyle f\left(t\right)=t^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(t\right)={(t+3)}^2}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[f\left(g\left(t\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(t\right)\right)g\prime \left(t\right)}$, где ${\displaystyle f\left(t\right)=t^2}$ и ${\displaystyle g\left(t\right)=t+3}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle t+3}$ по ${\displaystyle t}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t\right]+\frac{d}{dt}\left[3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{t}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle t}$, производная ${\displaystyle 3}$ относительно ${\displaystyle t}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left({(t+3)}^2\right)}^{-2}}$.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 0}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -1}$.

Возведем ${\displaystyle t+3}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Вычтем ${\displaystyle 4}$ из ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle -2}$ на ${\displaystyle -18}$.

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Объединим термины.

Поскольку ${\displaystyle -3}$ является константой относительно ${\displaystyle t}$, производная ${\displaystyle -\frac{3}{{(t+3)}^2}}$ по ${\displaystyle t}$ равна ${\displaystyle -3\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{{(t+3)}^2}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{{(t+3)}^2}}$ в виде ${\displaystyle {\left({(t+3)}^2\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[f\left(g\left(t\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(t\right)\right)g\prime \left(t\right)}$, где ${\displaystyle f\left(t\right)=t^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(t\right)={(t+3)}^2}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[f\left(g\left(t\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(t\right)\right)g\prime \left(t\right)}$, где ${\displaystyle f\left(t\right)=t^2}$ и ${\displaystyle g\left(t\right)=t+3}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle t+3}$ по ${\displaystyle t}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t\right]+\frac{d}{dt}\left[3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{t}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle t}$, производная ${\displaystyle 3}$ относительно ${\displaystyle t}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left({(t+3)}^2\right)}^{-2}}$.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 0}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -1}$.

Возведем ${\displaystyle t+3}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Вычтем ${\displaystyle 4}$ из ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle -2}$ на ${\displaystyle -3}$.

Поскольку ${\displaystyle 36}$ является константой относительно ${\displaystyle t}$, производная ${\displaystyle \frac{36}{{(t+3)}^3}}$ по ${\displaystyle t}$ равна ${\displaystyle 36\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{{(t+3)}^3}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{{(t+3)}^3}}$ в виде ${\displaystyle {\left({(t+3)}^3\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[f\left(g\left(t\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(t\right)\right)g\prime \left(t\right)}$, где ${\displaystyle f\left(t\right)=t^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(t\right)={(t+3)}^3}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[f\left(g\left(t\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(t\right)\right)g\prime \left(t\right)}$, где ${\displaystyle f\left(t\right)=t^3}$ и ${\displaystyle g\left(t\right)=t+3}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle t+3}$ по ${\displaystyle t}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t\right]+\frac{d}{dt}\left[3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{t}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Поскольку ${\displaystyle 3}$ является константой относительно ${\displaystyle t}$, производная ${\displaystyle 3}$ относительно ${\displaystyle t}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left({(t+3)}^3\right)}^{-2}}$.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 0}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle {(t+3)}^{-6}}$ на ${\displaystyle {(t+3)}^2}$, сложив экспоненты.

Умножим ${\displaystyle -3}$ на ${\displaystyle 36}$.

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Объединим термины.