Математический анализ Примеры

$y = {(x^{2} + 3 x + 1)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3 x + 1$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 3 + 0)$

Этап 1.2.7

Добавим $2 x + 3$ и $0$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 1) (2 x + 3)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 1) (2 x + 3)$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$(2 x^{2} + 6 x + 2 \cdot 1) (2 x + 3)$

Этап 1.3.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 x^{2} + 6 x + 2) (2 x + 3)$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(2 x^{2} + 6 x + 2) (2 x + 3)$ .

$(2 x + 3) (2 x^{2} + 6 x + 2)$

Этап 1.3.4

Развернем $(2 x + 3) (2 x^{2} + 6 x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (6 x) + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (6 x) + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (6 x) + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 x) + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (6 x) + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (6 x) + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (6 x) + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{3} + 2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.5.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.6

Умножим $2$ на $6$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.7

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x + 3 (2 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.8

Умножим $2$ на $3$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x + 6 x^{2} + 3 (6 x) + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.9

Умножим $6$ на $3$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x + 6 x^{2} + 18 x + 3 \cdot 2$

Этап 1.3.5.10

Умножим $3$ на $2$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} + 4 x + 6 x^{2} + 18 x + 6$

Этап 1.3.6

Добавим $12 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 4 x + 18 x + 6$

Этап 1.3.7

Добавим $4 x$ и $18 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} + 22 x + 6$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 18 x^{2} + 22 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $18$ .

$12 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [22 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $22$ является константой относительно $x$ , производная $22 x$ по $x$ равна $22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 36 x + 22 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} + 36 x + 22 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.4.3

Умножим $22$ на $1$ .

$12 x^{2} + 36 x + 22 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{2} + 36 x + 22 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $12 x^{2} + 36 x + 22$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 22$