Математический анализ Примеры

$y = \cos^{2} (θ)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (θ)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (θ)$ .

$2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 1.2

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Этап 1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $θ$ , производная $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ по $θ$ равна $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \cos (θ)$ и $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 2.3

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 2.4

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 2.5

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Этап 2.8

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ)))$

Этап 2.9

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

Этап 2.10

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ))$

Этап 2.13.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ)$