Математический анализ Примеры

$w = (\frac{1 + 9 z}{3 z}) (9 - 4 z)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ имеет вид $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , где $f (z) = \frac{1 + 9 z}{3 z}$ и $g (z) = 9 - 4 z$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} \frac{d}{d z} [9 - 4 z] + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $9 - 4 z$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [9] + \frac{d}{d z} [- 4 z]$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} (\frac{d}{d z} [9] + \frac{d}{d z} [- 4 z]) + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $z$ , производная $9$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} (0 + \frac{d}{d z} [- 4 z]) + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d z} [- 4 z]$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} \frac{d}{d z} [- 4 z] + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $z$ , производная $- 4 z$ по $z$ равна $- 4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{1 + 9 z}{3 z} (- 4 \frac{d}{d z} [z]) + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1 + 9 z}{3 z}$ .

$\frac{- 4 (1 + 9 z)}{3 z} \frac{d}{d z} [z] + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} \frac{d}{d z} [z] + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} \cdot 1 + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.8

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $z$ , производная $\frac{1 + 9 z}{3 z}$ по $z$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{z}]$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) (\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 9 z}{z}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = 1 + 9 z$ и $g (z) = z$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z \frac{d}{d z} [1 + 9 z] - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $1 + 9 z$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [9 z]$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [9 z]) - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z (0 + \frac{d}{d z} [9 z]) - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d z} [9 z]$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z \frac{d}{d z} [9 z] - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.4

Поскольку $9$ является константой относительно $z$ , производная $9 z$ по $z$ равна $9 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z (9 \frac{d}{d z} [z]) - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z (9 \cdot 1) - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Умножим $9$ на $1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{z \cdot 9 - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.6.2

Перенесем $9$ влево от $z$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{9 \cdot z - (1 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{9 z - (1 + 9 z) \cdot 1}{z^{2}}$

Этап 1.4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{1}{3} \frac{9 z - (1 + 9 z)}{z^{2}}$

Этап 1.4.8.2

Умножим $\frac{9 z - (1 + 9 z)}{z^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{z^{2} \cdot 3}$

Этап 1.4.8.3

Перенесем $3$ влево от $z^{2}$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 \cdot z^{2}}$

Этап 1.5

Чтобы записать $(9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 z}{3 z}$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}} \cdot \frac{3 z}{3 z}$

Этап 1.6

Объединим $(9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}}$ и $\frac{3 z}{3 z}$ .

$- \frac{4 (1 + 9 z)}{3 z} + \frac{(9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}} (3 z)}{3 z}$

Этап 1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}} (3 z)}{3 z}$

Этап 1.8

Объединим $3$ и $\frac{9 z - (1 + 9 z)}{3 z^{2}}$ .

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{3 (9 z - (1 + 9 z))}{3 z^{2}} z}{3 z}$

Этап 1.9

Объединим $z$ и $\frac{3 (9 z - (1 + 9 z))}{3 z^{2}}$ .

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{z (3 (9 z - (1 + 9 z)))}{3 z^{2}}}{3 z}$

Этап 1.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Вынесем множитель $z$ из $3 z^{2}$ .

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{z (3 (9 z - (1 + 9 z)))}{z (3 z)}}{3 z}$

Этап 1.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{z (3 (9 z - (1 + 9 z)))}{z (3 z)}}{3 z}$

Этап 1.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{3 (9 z - (1 + 9 z))}{3 z}}{3 z}$

Этап 1.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{3 (9 z - (1 + 9 z))}{3 z}}{3 z}$

Этап 1.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4 (1 + 9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 4 (9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - (1 + 9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 4 (9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 \cdot 1 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{- 4 - 4 (9 z) + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 \cdot 1 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.2

Умножим $9$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 \cdot 1 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.3.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{9 z - 1 - 9 z}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.3.3

Вычтем $9 z$ из $9 z$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{0 - 1}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.3.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) \frac{- 1}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 4 - 36 z + (9 - 4 z) (- \frac{1}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 - 36 z + 9 (- \frac{1}{z}) - 4 z (- \frac{1}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.6

Умножим $9 (- \frac{1}{z})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{- 4 - 36 z - 9 \frac{1}{z} - 4 z (- \frac{1}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.6.2

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} - 4 z (- \frac{1}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.7

Сократим общий множитель $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{z}$ в числитель.

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} - 4 z \frac{- 1}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.7.2

Вынесем множитель $z$ из $- 4 z$ .

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} + z \cdot - 4 \frac{- 1}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} + z \cdot - 4 \frac{- 1}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} - 4 \cdot - 1}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.8

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 - 36 z + \frac{- 9}{z} + 4}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 4 - 36 z - \frac{9}{z} + 4}{3 z}$

Этап 1.12.3.2

Объединим противоположные члены в $- 4 - 36 z - \frac{9}{z} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.2.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{- 36 z - \frac{9}{z} + 0}{3 z}$

Этап 1.12.3.2.2

Добавим $- 36 z - \frac{9}{z}$ и $0$ .

$\frac{- 36 z - \frac{9}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.4

Сократим общий множитель $- 36 z - \frac{9}{z}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 36 z$ .

$\frac{3 (- 12 z) - \frac{9}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- \frac{9}{z}$ .

$\frac{3 (- 12 z) + 3 (- \frac{3}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 12 z) + 3 (- \frac{3}{z})$ .

$\frac{3 (- 12 z - \frac{3}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 z$ .

$\frac{3 (- 12 z - \frac{3}{z})}{3 (z)}$

Этап 1.12.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 12 z - \frac{3}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 12 z - \frac{3}{z}}{z}$

Этап 1.12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 z - \frac{3}{z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12 z$ .

$\frac{3 (- 4 z) - \frac{3}{z}}{z}$

Этап 1.12.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- \frac{3}{z}$ .

$\frac{3 (- 4 z) + 3 (- \frac{1}{z})}{z}$

Этап 1.12.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 4 z) + 3 (- \frac{1}{z})$ .

$\frac{3 (- 4 z - \frac{1}{z})}{z}$

Этап 1.12.5.2

Чтобы записать $- 4 z$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (- 4 z \cdot \frac{z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Этап 1.12.5.3

Объединим $- 4 z$ и $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (\frac{- 4 z \cdot z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Этап 1.12.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \frac{- 4 z \cdot z - 1}{z}}{z}$

Этап 1.12.5.5

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.5.5.1

Перенесем $z$ .

$\frac{3 \frac{- 4 (z \cdot z) - 1}{z}}{z}$

Этап 1.12.5.5.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{3 \frac{- 4 z^{2} - 1}{z}}{z}$

Этап 1.12.6

Объединим $3$ и $\frac{- 4 z^{2} - 1}{z}$ .

$\frac{\frac{3 (- 4 z^{2} - 1)}{z}}{z}$

Этап 1.12.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 (- 4 z^{2} - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Этап 1.12.8

Объединим.

$\frac{3 (- 4 z^{2} - 1) \cdot 1}{z \cdot z}$

Этап 1.12.9

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{3 (- 4 z^{2} - 1) \cdot 1}{z^{2}}$

Этап 1.12.10

Умножим $3 (- 4 z^{2} - 1)$ на $1$ .

$\frac{3 (- 4 z^{2} - 1)}{z^{2}}$

Этап 1.12.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 z^{2}$ .

$\frac{3 (- (4 z^{2}) - 1)}{z^{2}}$

Этап 1.12.12

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 z^{2}) - 1 (1))}{z^{2}}$

Этап 1.12.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 z^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (4 z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Этап 1.12.14

Перепишем $- (4 z^{2} + 1)$ в виде $- 1 (4 z^{2} + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (4 z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Этап 1.12.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (z) = - \frac{3 (4 z^{2} + 1)}{z^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $z$ , производная $- \frac{3 (4 z^{2} + 1)}{z^{2}}$ по $z$ равна $- 3 \frac{d}{d z} [\frac{4 z^{2} + 1}{z^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d z} [\frac{4 z^{2} + 1}{z^{2}}]$

Этап 2.2

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [4 z^{2} + 1] - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{{(z^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${(z^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [4 z^{2} + 1] - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [4 z^{2} + 1] - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $4 z^{2} + 1$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$- 3 \frac{z^{2} (\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $z$ , производная $4 z^{2}$ по $z$ равна $4 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$- 3 \frac{z^{2} (4 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 \frac{z^{2} (4 (2 z) + \frac{d}{d z} [1]) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $4$ .

$- 3 \frac{z^{2} (8 z + \frac{d}{d z} [1]) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (8 z + 0) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.3.7

Добавим $8 z$ и $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (8 z) - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.4

Умножим $z^{2}$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $z$ .

$- 3 \frac{z \cdot z^{2} \cdot 8 - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.4.2

Умножим $z$ на $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$- 3 \frac{z^{1} z^{2} \cdot 8 - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 \frac{z^{1 + 2} \cdot 8 - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 3 \frac{z^{3} \cdot 8 - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.5

Перенесем $8$ влево от $z^{3}$ .

$- 3 \frac{8 \cdot z^{3} - (4 z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 \frac{8 z^{3} - (4 z^{2} + 1) (2 z)}{z^{4}}$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{8 z^{3} - 2 (4 z^{2} + 1) z}{z^{4}}$

Этап 2.7.2

Объединим $- 3$ и $\frac{8 z^{3} - 2 (4 z^{2} + 1) z}{z^{4}}$ .

$\frac{- 3 (8 z^{3} - 2 (4 z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Этап 2.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (8 z^{3} - 2 (4 z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 (8 z^{3} + (- 2 (4 z^{2}) - 2 \cdot 1) z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 (8 z^{3} - 2 (4 z^{2}) z - 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 (8 z^{3}) + 3 (- 2 (4 z^{2}) z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.1

Умножим $8$ на $3$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 z^{2}) z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.1.2

Умножим $z^{2}$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.2.1

Перенесем $z$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 (z \cdot z^{2}))) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.1.2.2

Умножим $z$ на $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.2.2.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 (z^{1} z^{2}))) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 z^{1 + 2})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 2 (4 z^{3})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- \frac{24 z^{3} + 3 (- 8 z^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.1.4

Умножим $- 8$ на $3$ .

$- \frac{24 z^{3} - 24 z^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- \frac{24 z^{3} - 24 z^{3} + 3 (- 2 z)}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.1.6

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- \frac{24 z^{3} - 24 z^{3} - 6 z}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.2

Вычтем $24 z^{3}$ из $24 z^{3}$ .

$- \frac{0 - 6 z}{z^{4}}$

Этап 2.8.4.3

Вычтем $6 z$ из $0$ .

$- \frac{- 6 z}{z^{4}}$

Этап 2.8.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Сократим общий множитель $z$ и $z^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1.1

Вынесем множитель $z$ из $- 6 z$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z^{4}}$

Этап 2.8.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1.2.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{4}$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Этап 2.8.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Этап 2.8.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 6}{z^{3}}$

Этап 2.8.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{6}{z^{3}}$

Этап 2.8.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{6}{z^{3}}$

Этап 2.8.5.4

Умножим $\frac{6}{z^{3}}$ на $1$ .

$f'' (z) = \frac{6}{z^{3}}$