Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{36} \cot (6 x + 5)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{36}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{36} \cdot \cot (6 x + 5)$ по $x$ равна $\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\cot (6 x + 5)]$ .

$\frac{1}{36} \frac{d}{d x} [\cot (6 x + 5)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = 6 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x + 5$ .

$\frac{1}{36} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 1.2.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{36} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 5$ .

$\frac{1}{36} (- \csc^{2} (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\frac{1}{36}$ и $\csc^{2} (6 x + 5)$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $6 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.3.5

Умножим $6$ на $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 1.3.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} (6 + 0)$

Этап 1.3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Добавим $6$ и $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36} \cdot 6$

Этап 1.3.7.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36}$

Этап 1.3.7.3

Объединим $- 6$ и $\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{36}$ .

$\frac{- 6 \csc^{2} (6 x + 5)}{36}$

Этап 1.3.7.4

Сократим общий множитель $- 6$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{36}$

Этап 1.3.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $36$ .

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{6 (6)}$

Этап 1.3.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (- \csc^{2} (6 x + 5))}{6 \cdot 6}$

Этап 1.3.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \csc^{2} (6 x + 5)}{6}$

Этап 1.3.7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{6}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{6}$ по $x$ равна $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (6 x + 5)]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (6 x + 5)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (6 x + 5)$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{6} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (6 x + 5)$ .

$- \frac{1}{6} (2 \csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Этап 2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{6}) (\csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Этап 2.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 2}{6} (\csc (6 x + 5) \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)])$

Этап 2.3.3

Объединим $\csc (6 x + 5)$ и $\frac{- 2}{6}$ .

$\frac{\csc (6 x + 5) \cdot - 2}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Этап 2.3.4

Перенесем $- 2$ влево от $\csc (6 x + 5)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (6 x + 5)}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Этап 2.3.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \csc (6 x + 5)$ .

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{6} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Этап 2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{2 (3)} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \csc (6 x + 5))}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Этап 2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \csc (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Этап 2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [\csc (6 x + 5)]$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x + 5$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.4.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x + 5$ .

$- \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (- \csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{\csc (6 x + 5)}{3}$ на $1$ .

$\frac{\csc (6 x + 5)}{3} (\csc (6 x + 5) \cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.5.3

Объединим $\csc (6 x + 5)$ и $\frac{\csc (6 x + 5)}{3}$ .

$\frac{\csc (6 x + 5) \csc (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.6

Возведем $\csc (6 x + 5)$ в степень $1$ .

$\frac{\csc^{1} (6 x + 5) \csc (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.7

Возведем $\csc (6 x + 5)$ в степень $1$ .

$\frac{\csc^{1} (6 x + 5) \csc^{1} (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\csc (6 x + 5)}^{1 + 1}}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{3} (\cot (6 x + 5) \frac{d}{d x} [6 x + 5])$

Этап 2.9.2

Объединим $\cot (6 x + 5)$ и $\frac{\csc^{2} (6 x + 5)}{3}$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $6 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.11

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.13

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.14

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} (6 + 0)$

Этап 2.15

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3} \cdot 6$

Этап 2.15.2

Объединим $\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{3}$ и $6$ .

$\frac{\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5) \cdot 6}{3}$

Этап 2.15.3

Перенесем $6$ влево от $\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{6 \cdot (\cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3}$

Этап 2.15.4

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3}$

Этап 2.15.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3 (1)}$

Этап 2.15.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5))}{3 \cdot 1}$

Этап 2.15.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)}{1}$

Этап 2.15.4.2.4

Разделим $2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ на $1$ .

$2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$

Этап 2.15.5

Изменим порядок множителей в $2 \cot (6 x + 5) \csc^{2} (6 x + 5)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (6 x + 5) \cot (6 x + 5)$