Математический анализ Примеры

$f' (x) = \frac{d}{d x} \cdot 8 \cos (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot (8 \cos (2 x))]$

Этап 1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot (8 \cos (2 x))]$

Этап 1.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x} \cdot \cos (2 x)]$

Этап 1.1.2.2

Объединим $\frac{8}{x}$ и $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 \cos (2 x)}{x}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8 \cos (2 x)}{x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (2 x)$ и $g (x) = x$ .

$8 \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$8 \frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$8 \frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$8 \frac{x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

Этап 1.4.6.2

Объединим $8$ и $\frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{8 (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (x (- 2 \sin (2 x))) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Этап 1.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{- 16 (x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Этап 1.5.2.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- 16 x \sin (2 x) - 8 \cos (2 x)}{x^{2}}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $8$ из $- 16 x \sin (2 x) - 8 \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $8$ из $- 16 x \sin (2 x)$ .

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x)) - 8 \cos (2 x)}{x^{2}}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8 \cos (2 x)$ .

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- 2 x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))$ .

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x \sin (2 x)$ .

$\frac{8 (- (2 x \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (2 x)$ .

$\frac{8 (- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x)))}{x^{2}}$

Этап 1.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x))$ .

$\frac{8 (- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{2}}$

Этап 1.5.7

Перепишем $- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ в виде $- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ .

$\frac{8 (- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{2}}$

Этап 1.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{8 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)}{x^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)}{x^{2}}]$

Этап 2.2

$- 8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)] - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)] - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)] - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \sin (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6.5

Умножим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.7.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x) \cdot 1) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.8.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.8.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.8.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x}{x^{4}}$

Этап 2.8.6.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))$ .

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x}{x^{4}}$

Этап 2.8.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x$ .

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))) + x (- 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

Этап 2.8.6.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))) + x (- 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))$ .

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

Этап 2.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.9.2

Сократим общий множитель.

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.9.3

Перепишем это выражение.

$- 8 \frac{x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.10

Объединим $- 8$ и $\frac{x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{3}}$ .

$\frac{- 8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))) + 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Этап 2.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)))) + x (2 \sin (2 x)) + x (- 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Этап 2.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)))) + x (2 \sin (2 x)) + x (- 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 8 (x (2 \sin (2 x))) + 8 (x (- 2 \sin (2 x))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.5.1

Объединим противоположные члены в $8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 8 (x (2 \sin (2 x))) + 8 (x (- 2 \sin (2 x))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.5.1.1

Изменим порядок множителей в членах $8 (x (2 \sin (2 x)))$ и $8 (x (- 2 \sin (2 x)))$ .

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 2 \cdot 8 x \sin (2 x) - 2 \cdot 8 x \sin (2 x) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.1.2

Вычтем $2 \cdot 8 x \sin (2 x)$ из $2 \cdot 8 x \sin (2 x)$ .

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 0 + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.1.3

Добавим $8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)))))$ и $0$ .

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.5.2.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.5.2.1.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{8 (x \cdot x (2 (2 \cos (2 x)))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{8 (x^{2} (2 (2 \cos (2 x)))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{8 (2 \cdot 2 x^{2} \cos (2 x)) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{8 (4 x^{2} \cos (2 x)) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.2.4

Умножим $4$ на $8$ .

$- \frac{32 (x^{2} \cos (2 x)) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.2.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{32 x^{2} \cos (2 x) + 8 (- 4 (x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.2.6

Умножим $- 4$ на $8$ .

$- \frac{32 x^{2} \cos (2 x) - 32 (x \sin (2 x)) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.5.2.7

Умножим $- 2$ на $8$ .

$- \frac{32 x^{2} \cos (2 x) - 32 x \sin (2 x) - 16 \cos (2 x)}{x^{3}}$

Этап 2.12.6

Вынесем множитель $16$ из $32 x^{2} \cos (2 x) - 32 x \sin (2 x) - 16 \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.6.1

Вынесем множитель $16$ из $32 x^{2} \cos (2 x)$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x)) - 32 x \sin (2 x) - 16 \cos (2 x)}{x^{3}}$

Этап 2.12.6.2

Вынесем множитель $16$ из $- 32 x \sin (2 x)$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x)) + 16 (- 2 x \sin (2 x)) - 16 \cos (2 x)}{x^{3}}$

Этап 2.12.6.3

Вынесем множитель $16$ из $- 16 \cos (2 x)$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x)) + 16 (- 2 x \sin (2 x)) + 16 (- \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.6.4

Вынесем множитель $16$ из $16 (2 x^{2} \cos (2 x)) + 16 (- 2 x \sin (2 x))$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x)) + 16 (- \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 2.12.6.5

Вынесем множитель $16$ из $16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x)) + 16 (- \cos (2 x))$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{3}}$

Этап 3

Вторая производная $f' (x)$ по $x$ равна $- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{3}}$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{3}}$