Математический анализ Примеры

$y = \csc (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\csc (u)$ по $u$ равна $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Этап 1.2.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$f' (x) = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (2 x) \csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cot (2 x) \csc (2 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (2 x)$ и $g (x) = \csc (2 x)$ .

$- 2 (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$- 2 (\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.3.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (\cot (2 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$- 2 (\cot (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.4

Возведем $\cot (2 x)$ в степень $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) (\cot^{1} (2 x) \cot (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.5

Возведем $\cot (2 x)$ в степень $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) (\cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 (- \csc (2 x) {\cot (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.7.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \cdot 1 + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.7.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Этап 2.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 2.8.2

Производная $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 2.8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 2.9

Возведем $\csc (2 x)$ в степень $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - (\csc^{1} (2 x) \csc^{2} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - {\csc (2 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.11

Добавим $1$ и $2$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.12

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - \csc^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x) \cdot 1)$

Этап 2.15

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x))$

Этап 2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x)) - 2 (- 2 \csc^{3} (2 x))$

Этап 2.16.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.2.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 (\csc (2 x) \cot^{2} (2 x)) - 2 (- 2 \csc^{3} (2 x))$

Этап 2.16.2.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + 4 \csc^{3} (2 x)$

Этап 2.16.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 \cot^{2} (2 x) \csc (2 x) + 4 \csc^{3} (2 x)$