Математический анализ Примеры

$y = \tan (x - \frac{π}{6})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = x - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - \frac{π}{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Этап 1.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - \frac{π}{6}$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x - \frac{π}{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- \frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{6}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

Этап 1.2.4.2

Умножим $\sec^{2} (x - \frac{π}{6})$ на $1$ .

$f' (x) = \sec^{2} (x - \frac{π}{6})$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (x - \frac{π}{6})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{6})]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Этап 2.2.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - \frac{π}{6}$ .

$2 \sec (x - \frac{π}{6}) (\sec (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Этап 2.3

Возведем $\sec (x - \frac{π}{6})$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Этап 2.4

Возведем $\sec (x - \frac{π}{6})$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (x - \frac{π}{6}) \sec^{1} (x - \frac{π}{6})) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (x - \frac{π}{6})}^{1 + 1} (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) (\tan (x - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{6}])$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x - \frac{π}{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}])$

Этап 2.9

Поскольку $- \frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{6}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) (1 + 0)$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6}) \cdot 1$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x - \frac{π}{6}) \tan (x - \frac{π}{6})$