Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2 - 4}}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $4$ из $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5} - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x^{- 2}$ из $3 x^{5} - 7 x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x^{- 2}$ из $3 x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x^{- 2}$ из $- 7 x^{- 2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7}{x^{2}}]$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x^{- 2}$ из $x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7} - 7)}{x^{2}}]$

Этап 1.3

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2} x^{2}}]$

Этап 1.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2 + 2}}]$

Этап 1.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{4}}]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{7} - 7$ и $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 1.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.6.2

По правилу суммы производная $3 x^{7} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.6.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{7}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{x^{4} (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.6.5

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.6.6

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + 0) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.6.7

Добавим $21 x^{6}$ и $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6}) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.7

Умножим $x^{4}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{6 + 4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.7.3

Добавим $6$ и $4$ .

$\frac{x^{10} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.8

Перенесем $21$ влево от $x^{10}$ .

$\frac{21 \cdot x^{10} - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{21 x^{10} - (3 x^{7} - 7) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Этап 1.10

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Этап 1.10.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $21 x^{10}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Этап 1.10.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Этап 1.10.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Этап 1.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 1.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 1.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7)}{x^{5}}$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7}) - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Этап 1.12.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.1.1

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Этап 1.12.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 7$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Этап 1.12.2.2

Вычтем $12 x^{7}$ из $21 x^{7}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $9 x^{7} + 28$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{7}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{5} (9 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{x^{5} (9 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.2.5

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + 0) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.2.7

Добавим $63 x^{6}$ и $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6}) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.3

Умножим $x^{5}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{6 + 5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.3.3

Добавим $6$ и $5$ .

$\frac{x^{11} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.4

Перенесем $63$ влево от $x^{11}$ .

$\frac{63 \cdot x^{11} - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{63 x^{11} - (9 x^{7} + 28) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Этап 2.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Этап 2.6.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $63 x^{11}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Этап 2.6.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Этап 2.6.2.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Этап 2.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 2.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 2.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28)}{x^{6}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7}) - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Этап 2.8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Умножим $9$ на $- 5$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Этап 2.8.2.1.2

Умножим $- 5$ на $28$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $45 x^{7}$ из $63 x^{7}$ .

$\frac{18 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Этап 2.8.3

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{7} - 140$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{7}$ .

$\frac{2 (9 x^{7}) - 140}{x^{6}}$

Этап 2.8.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 140$ .

$\frac{2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)}{x^{6}}$

Этап 2.8.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (9 x^{7} - 70)}{x^{6}}$