Математический анализ Примеры

$y = \sin (x) + \tan (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) + \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\cos (x) + \sec^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 2.3.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Этап 2.3.4

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Этап 2.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sin (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Этап 2.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sin (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Этап 2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \sin (x)$

Этап 2.4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Этап 2.4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Этап 2.4.2.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Этап 2.4.2.5

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Этап 2.4.2.6

Объединим.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \sin (x)$

Этап 2.4.2.7

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.7.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.7.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \sin (x)$

Этап 2.4.2.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \sin (x)$

Этап 2.4.2.7.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \sin (x)$

Этап 2.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \sin (x)$

Этап 2.4.3.2

Разделим дроби.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Этап 2.4.3.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Этап 2.4.3.4

Умножим на $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \sin (x)$

Этап 2.4.3.5

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Этап 2.4.3.6

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Этап 2.4.3.7

Разделим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$