Математический анализ Примеры

$y = \frac{\ln (7 x)}{x^{6}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (7 x)$ и $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $\frac{1}{7 x}$ и $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x^{6}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x^{6}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Объединим $7$ и $\frac{x^{5}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.4.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{7 x^{5}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.4.2.2

Разделим $x^{5}$ на $1$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.6

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$\frac{x^{5} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{x^{5} - \ln (7 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

Этап 1.4.8

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 6 \ln (7 x) x^{5}}{x^{12}}$

Этап 1.4.8.2

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{5} - 6 \ln (7 x) x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (7 x) x^{5}}{x^{12}}$

Этап 1.4.8.2.2

Вынесем множитель $x^{5}$ из $- 6 \ln (7 x) x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (7 x))}{x^{12}}$

Этап 1.4.8.2.3

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (7 x))}{x^{12}}$

Этап 1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (7 x))}{x^{5} x^{7}}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (7 x))}{x^{5} x^{7}}$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 6 \ln (7 x)}{x^{7}}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим $- 6 \ln (7 x)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{6})}{x^{7}}$

Этап 1.6.2

Применим правило умножения к $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{6} x^{6})}{x^{7}}$

Этап 1.6.3

Возведем $7$ в степень $6$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (117649 x^{6})}{x^{7}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{7})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $1 - \ln (117649 x^{6})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (117649 x^{6})] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (117649 x^{6})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (117649 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (117649 x^{6})]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $117649 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [117649 x^{6}])) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}])) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $117649 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{117649 x^{6}} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}])) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $x^{7}$ и $\frac{1}{117649 x^{6}}$ .

$\frac{- \frac{x^{7}}{117649 x^{6}} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $x^{7}$ и $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{7}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{117649 x^{6}} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $117649 x^{6}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 117649} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 117649} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{x}{117649} \frac{d}{d x} [117649 x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.3

Поскольку $117649$ является константой относительно $x$ , производная $117649 x^{6}$ по $x$ равна $117649 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{- \frac{x}{117649} (117649 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Умножим $117649$ на $- 1$ .

$\frac{- 117649 \frac{x}{117649} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.4.2

Объединим $- 117649$ и $\frac{x}{117649}$ .

$\frac{\frac{- 117649 x}{117649} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.4.3

Сократим общий множитель $- 117649$ и $117649$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.3.1

Вынесем множитель $117649$ из $- 117649 x$ .

$\frac{\frac{117649 (- x)}{117649} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.3.2.1

Вынесем множитель $117649$ из $117649$ .

$\frac{\frac{117649 (- x)}{117649 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{117649 (- x)}{117649 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.4.3.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.4.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.5

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.5.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.5.3

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (117649 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (117649 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Этап 2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $x^{6}$ из $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $- 6 x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $x^{6}$ из $- 7 (1 - \ln (117649 x^{6})) x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{14}}$

Этап 2.7.2.3

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{14}}$

Этап 2.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{14}$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Этап 2.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Этап 2.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (117649 x^{6}))}{x^{8}}$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (117649 x^{6}))}{x^{8}}$

Этап 2.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.1

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (117649 x^{6}))}{x^{8}}$

Этап 2.9.2.1.2

Умножим $- 7 (- \ln (117649 x^{6}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (117649 x^{6})}{x^{8}}$

Этап 2.9.2.1.2.2

Упростим $7 \ln (117649 x^{6})$ путем переноса $7$ под логарифм.

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(117649 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Этап 2.9.2.1.3

Применим правило умножения к $117649 x^{6}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (117649^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Этап 2.9.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (117649^{7} x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

Этап 2.9.2.1.4.2

Умножим $6$ на $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$

Этап 2.9.2.2

Вычтем $7$ из $- 6$ .

$\frac{- 13 + \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$

Этап 2.9.3

Перепишем $- 13$ в виде $- 1 (13)$ .

$\frac{- 1 (13) + \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$

Этап 2.9.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (117649^{7} x^{42})$ .

$\frac{- 1 (13) - 1 (- \ln (117649^{7} x^{42}))}{x^{8}}$

Этап 2.9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (13) - 1 (- \ln (117649^{7} x^{42}))$ .

$\frac{- 1 (13 - \ln (117649^{7} x^{42}))}{x^{8}}$

Этап 2.9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{13 - \ln (117649^{7} x^{42})}{x^{8}}$