Математический анализ Примеры

$w = (\frac{4 + 9 z}{3 z}) (6 - z)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ имеет вид $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , где $f (z) = \frac{4 + 9 z}{3 z}$ и $g (z) = 6 - z$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} \frac{d}{d z} [6 - z] + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $6 - z$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [6] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} (\frac{d}{d z} [6] + \frac{d}{d z} [- z]) + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $z$ , производная $6$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} \frac{d}{d z} [- z] + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- z$ по $z$ равна $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} (- \frac{d}{d z} [z]) + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} (- 1 \cdot 1) + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 + 9 z}{3 z} \cdot - 1 + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.6.2

Объединим $\frac{4 + 9 z}{3 z}$ и $- 1$ .

$\frac{(4 + 9 z) \cdot - 1}{3 z} + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $4 + 9 z$ .

$\frac{- 1 \cdot (4 + 9 z)}{3 z} + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.6.3.2

Перепишем $- 1 (4 + 9 z)$ в виде $- (4 + 9 z)$ .

$\frac{- (4 + 9 z)}{3 z} + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{3 z}]$

Этап 1.2.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $z$ , производная $\frac{4 + 9 z}{3 z}$ по $z$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{z}]$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) (\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{4 + 9 z}{z}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = 4 + 9 z$ и $g (z) = z$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z \frac{d}{d z} [4 + 9 z] - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $4 + 9 z$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [9 z]$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [9 z]) - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.2

Поскольку $4$ является константой относительно $z$ , производная $4$ относительно $z$ равна $0$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z (0 + \frac{d}{d z} [9 z]) - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d z} [9 z]$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z \frac{d}{d z} [9 z] - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.4

Поскольку $9$ является константой относительно $z$ , производная $9 z$ по $z$ равна $9 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z (9 \frac{d}{d z} [z]) - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z (9 \cdot 1) - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Умножим $9$ на $1$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{z \cdot 9 - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.6.2

Перенесем $9$ влево от $z$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{9 \cdot z - (4 + 9 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{9 z - (4 + 9 z) \cdot 1}{z^{2}}$

Этап 1.4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{1}{3} \frac{9 z - (4 + 9 z)}{z^{2}}$

Этап 1.4.8.2

Умножим $\frac{9 z - (4 + 9 z)}{z^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{z^{2} \cdot 3}$

Этап 1.4.8.3

Перенесем $3$ влево от $z^{2}$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 \cdot z^{2}}$

Этап 1.5

Чтобы записать $(6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 z}{3 z}$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}} \cdot \frac{3 z}{3 z}$

Этап 1.6

Объединим $(6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}}$ и $\frac{3 z}{3 z}$ .

$- \frac{4 + 9 z}{3 z} + \frac{(6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}} (3 z)}{3 z}$

Этап 1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}} (3 z)}{3 z}$

Этап 1.8

Объединим $3$ и $\frac{9 z - (4 + 9 z)}{3 z^{2}}$ .

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{3 (9 z - (4 + 9 z))}{3 z^{2}} z}{3 z}$

Этап 1.9

Объединим $z$ и $\frac{3 (9 z - (4 + 9 z))}{3 z^{2}}$ .

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{z (3 (9 z - (4 + 9 z)))}{3 z^{2}}}{3 z}$

Этап 1.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Вынесем множитель $z$ из $3 z^{2}$ .

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{z (3 (9 z - (4 + 9 z)))}{z (3 z)}}{3 z}$

Этап 1.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{z (3 (9 z - (4 + 9 z)))}{z (3 z)}}{3 z}$

Этап 1.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{3 (9 z - (4 + 9 z))}{3 z}}{3 z}$

Этап 1.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{3 (9 z - (4 + 9 z))}{3 z}}{3 z}$

Этап 1.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- (4 + 9 z) + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 4 - (9 z) + (6 - z) \frac{9 z - (4 + 9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 4 - (9 z) + (6 - z) \frac{9 z - 1 \cdot 4 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 - (9 z) + (6 - z) \frac{9 z - 1 \cdot 4 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{9 z - 1 \cdot 4 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{9 z - 4 - (9 z)}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.3.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{9 z - 4 - 9 z}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.3.3

Вычтем $9 z$ из $9 z$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{0 - 4}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.3.4

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) \frac{- 4}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 4 - 9 z + (6 - z) (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 - 9 z + 6 (- \frac{4}{z}) - z (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.6

Умножим $6 (- \frac{4}{z})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{- 4 - 9 z - 6 \frac{4}{z} - z (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.6.2

Объединим $- 6$ и $\frac{4}{z}$ .

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 6 \cdot 4}{z} - z (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.6.3

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} - z (- \frac{4}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.7

Сократим общий множитель $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{z}$ в числитель.

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} - z \frac{- 4}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.7.2

Вынесем множитель $z$ из $- z$ .

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 4}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 4}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} - 1 \cdot - 4}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.8

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 - 9 z + \frac{- 24}{z} + 4}{3 z}$

Этап 1.12.3.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- 4 - 9 z - \frac{24}{z} + 4}{3 z}$

Этап 1.12.3.2

Объединим противоположные члены в $- 4 - 9 z - \frac{24}{z} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.2.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{- 9 z - \frac{24}{z} + 0}{3 z}$

Этап 1.12.3.2.2

Добавим $- 9 z - \frac{24}{z}$ и $0$ .

$\frac{- 9 z - \frac{24}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.4

Сократим общий множитель $- 9 z - \frac{24}{z}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9 z$ .

$\frac{3 (- 3 z) - \frac{24}{z}}{3 z}$

Этап 1.12.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- \frac{24}{z}$ .

$\frac{3 (- 3 z) + 3 (- \frac{8}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 3 z) + 3 (- \frac{8}{z})$ .

$\frac{3 (- 3 z - \frac{8}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 z$ .

$\frac{3 (- 3 z - \frac{8}{z})}{3 (z)}$

Этап 1.12.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 3 z - \frac{8}{z})}{3 z}$

Этап 1.12.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 z - \frac{8}{z}}{z}$

Этап 1.12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.5.1

Чтобы записать $- 3 z$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{z}{z}$ .

$\frac{- 3 z \cdot \frac{z}{z} - \frac{8}{z}}{z}$

Этап 1.12.5.2

Объединим $- 3 z$ и $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{- 3 z \cdot z}{z} - \frac{8}{z}}{z}$

Этап 1.12.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 3 z \cdot z - 8}{z}}{z}$

Этап 1.12.5.4

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.5.4.1

Перенесем $z$ .

$\frac{\frac{- 3 (z \cdot z) - 8}{z}}{z}$

Этап 1.12.5.4.2

Умножим $z$ на $z$ .

$\frac{\frac{- 3 z^{2} - 8}{z}}{z}$

Этап 1.12.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Этап 1.12.7

Умножим $\frac{- 3 z^{2} - 8}{z} \cdot \frac{1}{z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.7.1

Умножим $\frac{- 3 z^{2} - 8}{z}$ на $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z \cdot z}$

Этап 1.12.7.2

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z^{1} z}$

Этап 1.12.7.3

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z^{1} z^{1}}$

Этап 1.12.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z^{1 + 1}}$

Этап 1.12.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 3 z^{2} - 8}{z^{2}}$

Этап 1.12.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 z^{2}$ .

$\frac{- (3 z^{2}) - 8}{z^{2}}$

Этап 1.12.9

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2}) - 1 (8)}{z^{2}}$

Этап 1.12.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 z^{2}) - 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2} + 8)}{z^{2}}$

Этап 1.12.11

Перепишем $- (3 z^{2} + 8)$ в виде $- 1 (3 z^{2} + 8)$ .

$\frac{- 1 (3 z^{2} + 8)}{z^{2}}$

Этап 1.12.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (z) = - \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$- \frac{d}{d z} [\frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}}] + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.2

$- \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [3 z^{2} + 8] - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{{(z^{2})}^{2}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${(z^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [3 z^{2} + 8] - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{2 \cdot 2}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [3 z^{2} + 8] - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $3 z^{2} + 8$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [8]$ .

$- \frac{z^{2} (\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [8]) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $z$ , производная $3 z^{2}$ по $z$ равна $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$- \frac{z^{2} (3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [8]) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{z^{2} (3 (2 z) + \frac{d}{d z} [8]) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{z^{2} (6 z + \frac{d}{d z} [8]) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.3.6

Поскольку $8$ является константой относительно $z$ , производная $8$ относительно $z$ равна $0$ .

$- \frac{z^{2} (6 z + 0) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.3.7

Добавим $6 z$ и $0$ .

$- \frac{z^{2} (6 z) - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.4

Умножим $z^{2}$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $z$ .

$- \frac{z \cdot z^{2} \cdot 6 - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.4.2

Умножим $z$ на $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$- \frac{z^{1} z^{2} \cdot 6 - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{z^{1 + 2} \cdot 6 - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{z^{3} \cdot 6 - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.5

Перенесем $6$ влево от $z^{3}$ .

$- \frac{6 \cdot z^{3} - (3 z^{2} + 8) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{6 z^{3} - (3 z^{2} + 8) (2 z)}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \frac{d}{d z} [- 1]$

Этап 2.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- 1$ относительно $z$ равна $0$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}} + \frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}} \cdot 0$

Этап 2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $\frac{3 z^{2} + 8}{z^{2}}$ на $0$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}} + 0$

Этап 2.9.2

Добавим $- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}}$ и $0$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2} + 8) z}{z^{4}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{6 z^{3} + (- 2 (3 z^{2}) - 2 \cdot 8) z}{z^{4}}$

Этап 2.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{2}) z - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Этап 2.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1

Умножим $z^{2}$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1.1

Перенесем $z$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 (z \cdot z^{2})) - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Этап 2.10.3.1.1.2

Умножим $z$ на $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1.2.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 (z^{1} z^{2})) - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Этап 2.10.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{1 + 2}) - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Этап 2.10.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{6 z^{3} - 2 (3 z^{3}) - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Этап 2.10.3.1.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} - 2 \cdot 8 z}{z^{4}}$

Этап 2.10.3.1.3

Умножим $- 2$ на $8$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} - 16 z}{z^{4}}$

Этап 2.10.3.2

Вычтем $6 z^{3}$ из $6 z^{3}$ .

$- \frac{0 - 16 z}{z^{4}}$

Этап 2.10.3.3

Вычтем $16 z$ из $0$ .

$- \frac{- 16 z}{z^{4}}$

Этап 2.10.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Сократим общий множитель $z$ и $z^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1.1

Вынесем множитель $z$ из $- 16 z$ .

$- \frac{z \cdot - 16}{z^{4}}$

Этап 2.10.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1.2.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{4}$ .

$- \frac{z \cdot - 16}{z \cdot z^{3}}$

Этап 2.10.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{z \cdot - 16}{z \cdot z^{3}}$

Этап 2.10.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 16}{z^{3}}$

Этап 2.10.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{16}{z^{3}}$

Этап 2.10.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{16}{z^{3}}$

Этап 2.10.4.4

Умножим $\frac{16}{z^{3}}$ на $1$ .

$f'' (z) = \frac{16}{z^{3}}$