Математический анализ Примеры

$f (x, y) = 11 {(6 x - 3 y + 4)}^{8}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 {(6 x - 3 y + 4)}^{8}$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{8}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{8}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{8}$ и $g (x) = 6 x - 3 y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x - 3 y + 4$ .

$11 (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$11 (8 u^{7} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x - 3 y + 4$ .

$11 (8 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $8$ на $11$ .

$88 ({(6 x - 3 y + 4)}^{7} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $6 x - 3 y + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.3.5

Умножим $6$ на $1$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 3 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + 0 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.3.7

Добавим $6$ и $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 1.3.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} (6 + 0)$

Этап 1.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Добавим $6$ и $0$ .

$88 {(6 x - 3 y + 4)}^{7} \cdot 6$

Этап 1.3.9.2

Умножим $6$ на $88$ .

$f' (x) = 528 {(6 x - 3 y + 4)}^{7}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $528$ является константой относительно $x$ , производная $528 {(6 x - 3 y + 4)}^{7}$ по $x$ равна $528 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{7}]$ .

$528 \frac{d}{d x} [{(6 x - 3 y + 4)}^{7}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x - 3 y + 4$ .

$528 (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$528 (7 u^{6} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x - 3 y + 4$ .

$528 (7 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $7$ на $528$ .

$3696 ({(6 x - 3 y + 4)}^{6} \frac{d}{d x} [6 x - 3 y + 4])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $6 x - 3 y + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.5

Умножим $6$ на $1$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 3 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + 0 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.7

Добавим $6$ и $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} (6 + 0)$

Этап 2.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Добавим $6$ и $0$ .

$3696 {(6 x - 3 y + 4)}^{6} \cdot 6$

Этап 2.3.9.2

Умножим $6$ на $3696$ .

$f'' (x) = 22176 {(6 x - 3 y + 4)}^{6}$