Математический анализ Примеры

$y = (x^{2} - 3 x + 2) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ и $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 5$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 5] + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2.8

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2.9

Добавим $6 x^{2} - 2 x$ и $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]$

Этап 1.2.10

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.2.12

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.2.14

Умножим $- 3$ на $1$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 1.2.15

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3 + 0)$

Этап 1.2.16

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)$ .

$1 ((x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3)$

Этап 1.3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3)$ .

$1 ((x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)) + 1 ((2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3))$

Этап 1.3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x)) + 1 ((2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3))$ .

$1 ((x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3))$

Этап 1.3.2

Умножим $(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3)$ на $1$ .

$(x^{2} - 3 x + 2) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 3)$

Этап 1.3.3

Изменим порядок членов.

$(6 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 3 x + 2) + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Развернем $(6 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 3 x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$6 x^{2} x^{2} + 6 x^{2} (- 3 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{2}) + 6 x^{2} (- 3 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{2 + 2} + 6 x^{2} (- 3 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$6 x^{4} + 6 x^{2} (- 3 x) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 3 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.3.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 3 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 3 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 3 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 3 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.4

Умножим $6$ на $- 3$ .

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.5

Умножим $2$ на $6$ .

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 3 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.8.1

Перенесем $x$ .

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 3 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 3 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.9

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.2.10

Умножим $2$ на $- 2$ .

$6 x^{4} - 18 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.3

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 18 x^{3}$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 4 x + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.4

Добавим $12 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + (2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$

Этап 1.3.4.5

Развернем $(2 x - 3) (2 x^{3} - x^{2} + 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 2 x (2 x^{3}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 x \cdot x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 (x^{3} x) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 (x^{3} x^{1}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 x^{3 + 1} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 2 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.3

Умножим $2$ на $2$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.6.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.7

Умножим $5$ на $2$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 3 (2 x^{3}) - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.8

Умножим $2$ на $- 3$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 6 x^{3} - 3 (- x^{2}) - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.9

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 6 x^{3} + 3 x^{2} - 3 \cdot 5$

Этап 1.3.4.6.10

Умножим $- 3$ на $5$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 6 x^{3} + 3 x^{2} - 15$

Этап 1.3.4.7

Вычтем $6 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$6 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 10 x + 3 x^{2} - 15$

Этап 1.3.5

Добавим $6 x^{4}$ и $4 x^{4}$ .

$10 x^{4} - 20 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x - 8 x^{3} + 10 x + 3 x^{2} - 15$

Этап 1.3.6

Вычтем $8 x^{3}$ из $- 20 x^{3}$ .

$10 x^{4} - 28 x^{3} + 18 x^{2} - 4 x + 10 x + 3 x^{2} - 15$

Этап 1.3.7

Добавим $18 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$10 x^{4} - 28 x^{3} + 21 x^{2} - 4 x + 10 x - 15$

Этап 1.3.8

Добавим $- 4 x$ и $10 x$ .

$f' (x) = 10 x^{4} - 28 x^{3} + 21 x^{2} + 6 x - 15$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $10 x^{4} - 28 x^{3} + 21 x^{2} + 6 x - 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{4}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $10$ .

$40 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 28 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 28$ является константой относительно $x$ , производная $- 28 x^{3}$ по $x$ равна $- 28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$40 x^{3} - 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$40 x^{3} - 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 28$ .

$40 x^{3} - 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 x^{2}$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$40 x^{3} - 84 x^{2} + 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$40 x^{3} - 84 x^{2} + 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $21$ .

$40 x^{3} - 84 x^{2} + 42 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 x^{3} - 84 x^{2} + 42 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$40 x^{3} - 84 x^{2} + 42 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.5.3

Умножим $6$ на $1$ .

$40 x^{3} - 84 x^{2} + 42 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15$ относительно $x$ равна $0$ .

$40 x^{3} - 84 x^{2} + 42 x + 6 + 0$

Этап 2.6.2

Добавим $40 x^{3} - 84 x^{2} + 42 x + 6$ и $0$ .

$f'' (x) = 40 x^{3} - 84 x^{2} + 42 x + 6$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $40 x^{3} - 84 x^{2} + 42 x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40 x^{3}$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $40$ .

$120 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 84 x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 84 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 84$ является константой относительно $x$ , производная $- 84 x^{2}$ по $x$ равна $- 84 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{2} - 84 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$120 x^{2} - 84 (2 x) + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 84$ .

$120 x^{2} - 168 x + \frac{d}{d x} [42 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [42 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42 x$ по $x$ равна $42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x^{2} - 168 x + 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$120 x^{2} - 168 x + 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.4.3

Умножим $42$ на $1$ .

$120 x^{2} - 168 x + 42 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$120 x^{2} - 168 x + 42 + 0$

Этап 3.5.2

Добавим $120 x^{2} - 168 x + 42$ и $0$ .

$f''' (x) = 120 x^{2} - 168 x + 42$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $120 x^{2} - 168 x + 42$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 168 x] + \frac{d}{d x} [42]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 168 x] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [120 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120 x^{2}$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 168 x] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$120 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 168 x] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $120$ .

$240 x + \frac{d}{d x} [- 168 x] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 168 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 168$ является константой относительно $x$ , производная $- 168 x$ по $x$ равна $- 168 \frac{d}{d x} [x]$ .

$240 x - 168 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$240 x - 168 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 4.3.3

Умножим $- 168$ на $1$ .

$240 x - 168 + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42$ относительно $x$ равна $0$ .

$240 x - 168 + 0$

Этап 4.4.2

Добавим $240 x - 168$ и $0$ .

$f^{4} (x) = 240 x - 168$