Математический анализ Примеры

$y = 5 t {(3 t + 2)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t {(3 t + 2)}^{4}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t {(3 t + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(3 t + 2)}^{4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(3 t + 2)}^{4}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{4}] + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{4}$ и $g (t) = 3 t + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t + 2$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [3 t + 2]) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (t (4 u^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 2]) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 t + 2$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 2]) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $3 t + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.4

Умножим $3$ на $1$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [2])) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.5

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} (3 + 0)) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$5 (t (4 {(3 t + 2)}^{3} \cdot 3) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.6.2

Умножим $3$ на $4$ .

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3}) + {(3 t + 2)}^{4} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3}) + {(3 t + 2)}^{4} \cdot 1)$

Этап 1.4.8

Умножим ${(3 t + 2)}^{4}$ на $1$ .

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3}) + {(3 t + 2)}^{4})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (t (12 {(3 t + 2)}^{3})) + 5 {(3 t + 2)}^{4}$

Этап 1.5.2

Умножим $12$ на $5$ .

$60 (t ({(3 t + 2)}^{3})) + 5 {(3 t + 2)}^{4}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $5 {(3 t + 2)}^{3}$ из $60 t {(3 t + 2)}^{3} + 5 {(3 t + 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $5 {(3 t + 2)}^{3}$ из $60 t {(3 t + 2)}^{3}$ .

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t) + 5 {(3 t + 2)}^{4}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $5 {(3 t + 2)}^{3}$ из $5 {(3 t + 2)}^{4}$ .

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t) + 5 {(3 t + 2)}^{3} (3 t + 2)$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $5 {(3 t + 2)}^{3}$ из $5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t) + 5 {(3 t + 2)}^{3} (3 t + 2)$ .

$5 {(3 t + 2)}^{3} (12 t + 3 t + 2)$

Этап 1.5.4

Добавим $12 t$ и $3 t$ .

$f' (t) = 5 {(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 {(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3} (15 t + 2)]$

Этап 2.2

$5 ({(3 t + 2)}^{3} \frac{d}{d t} [15 t + 2] + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $15 t + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (\frac{d}{d t} [15 t] + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Этап 2.3.2

Поскольку $15$ является константой относительно $t$ , производная $15 t$ по $t$ равна $15 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Этап 2.3.4

Умножим $15$ на $1$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 + \frac{d}{d t} [2]) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Этап 2.3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} (15 + 0) + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $15$ и $0$ .

$5 ({(3 t + 2)}^{3} \cdot 15 + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $15$ влево от ${(3 t + 2)}^{3}$ .

$5 (15 \cdot {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) \frac{d}{d t} [{(3 t + 2)}^{3}])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t + 2$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 2]))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 2]))$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 t + 2$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (15 t + 2) (3 {(3 t + 2)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 2]))$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $3$ влево от $15 t + 2$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 \cdot (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 2])$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $3 t + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [2]))$

Этап 2.5.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [2]))$

Этап 2.5.5

Умножим $3$ на $1$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [2]))$

Этап 2.5.6

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} (3 + 0))$

Этап 2.5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 3 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2} \cdot 3)$

Этап 2.5.7.2

Умножим $3$ на $3$ .

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + 9 (15 t + 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3} + (9 (15 t) + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (15 {(3 t + 2)}^{3}) + 5 ((9 (15 t) + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Этап 2.6.3

Умножим $15$ на $5$ .

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 ((9 (15 t) + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Этап 2.6.4

Умножим $15$ на $9$ .

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 ((135 t + 9 \cdot 2) {(3 t + 2)}^{2})$

Этап 2.6.5

Умножим $9$ на $2$ .

$75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 ((135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2})$

Этап 2.6.6

Вынесем множитель $5 {(3 t + 2)}^{2}$ из $75 {(3 t + 2)}^{3} + 5 (135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

Вынесем множитель $5 {(3 t + 2)}^{2}$ из $75 {(3 t + 2)}^{3}$ .

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2)) + 5 (135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2}$

Этап 2.6.6.2

Вынесем множитель $5 {(3 t + 2)}^{2}$ из $5 (135 t + 18) {(3 t + 2)}^{2}$ .

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2)) + 5 {(3 t + 2)}^{2} (135 t + 18)$

Этап 2.6.6.3

Вынесем множитель $5 {(3 t + 2)}^{2}$ из $5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2)) + 5 {(3 t + 2)}^{2} (135 t + 18)$ .

$5 {(3 t + 2)}^{2} (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.7

Перепишем ${(3 t + 2)}^{2}$ в виде $(3 t + 2) (3 t + 2)$ .

$5 ((3 t + 2) (3 t + 2)) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.8

Развернем $(3 t + 2) (3 t + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (3 t (3 t + 2) + 2 (3 t + 2)) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (3 t (3 t) + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t + 2)) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (3 t (3 t) + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.9.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1.2.1

Перенесем $t$ .

$5 (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.9.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$5 (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.9.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$5 (9 t^{2} + 3 t \cdot 2 + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.9.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$5 (9 t^{2} + 6 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.9.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$5 (9 t^{2} + 6 t + 6 t + 2 \cdot 2) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.9.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$5 (9 t^{2} + 6 t + 6 t + 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.9.2

Добавим $6 t$ и $6 t$ .

$5 (9 t^{2} + 12 t + 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.10

Применим свойство дистрибутивности.

$(5 (9 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.11.1

Умножим $9$ на $5$ .

$(45 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.11.2

Умножим $12$ на $5$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 4) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.11.3

Умножим $5$ на $4$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (15 (3 t + 2) + 135 t + 18)$

Этап 2.6.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (15 (3 t) + 15 \cdot 2 + 135 t + 18)$

Этап 2.6.12.2

Умножим $3$ на $15$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (45 t + 15 \cdot 2 + 135 t + 18)$

Этап 2.6.12.3

Умножим $15$ на $2$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (45 t + 30 + 135 t + 18)$

Этап 2.6.13

Добавим $45 t$ и $135 t$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (180 t + 30 + 18)$

Этап 2.6.14

Добавим $30$ и $18$ .

$(45 t^{2} + 60 t + 20) (180 t + 48)$

Этап 2.6.15

Развернем $(45 t^{2} + 60 t + 20) (180 t + 48)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$45 t^{2} (180 t) + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.16.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$45 \cdot 180 t^{2} t + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.16.2.1

Перенесем $t$ .

$45 \cdot 180 (t \cdot t^{2}) + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.2.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.16.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$45 \cdot 180 (t^{1} t^{2}) + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$45 \cdot 180 t^{1 + 2} + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$45 \cdot 180 t^{3} + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.3

Умножим $45$ на $180$ .

$8100 t^{3} + 45 t^{2} \cdot 48 + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.4

Умножим $48$ на $45$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 t (180 t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 \cdot 180 t \cdot t + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.6

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.16.6.1

Перенесем $t$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 \cdot 180 (t \cdot t) + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.6.2

Умножим $t$ на $t$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 60 \cdot 180 t^{2} + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.7

Умножим $60$ на $180$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 60 t \cdot 48 + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.8

Умножим $48$ на $60$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 2880 t + 20 (180 t) + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.9

Умножим $180$ на $20$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 2880 t + 3600 t + 20 \cdot 48$

Этап 2.6.16.10

Умножим $20$ на $48$ .

$8100 t^{3} + 2160 t^{2} + 10800 t^{2} + 2880 t + 3600 t + 960$

Этап 2.6.17

Добавим $2160 t^{2}$ и $10800 t^{2}$ .

$8100 t^{3} + 12960 t^{2} + 2880 t + 3600 t + 960$

Этап 2.6.18

Добавим $2880 t$ и $3600 t$ .

$f'' (t) = 8100 t^{3} + 12960 t^{2} + 6480 t + 960$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $8100 t^{3} + 12960 t^{2} + 6480 t + 960$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [8100 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$ .

$\frac{d}{d t} [8100 t^{3}] + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [8100 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $8100$ является константой относительно $t$ , производная $8100 t^{3}$ по $t$ равна $8100 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$8100 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8100 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $8100$ .

$24300 t^{2} + \frac{d}{d t} [12960 t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [12960 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $12960$ является константой относительно $t$ , производная $12960 t^{2}$ по $t$ равна $12960 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$24300 t^{2} + 12960 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24300 t^{2} + 12960 (2 t) + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $12960$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + \frac{d}{d t} [6480 t] + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [6480 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $6480$ является константой относительно $t$ , производная $6480 t$ по $t$ равна $6480 \frac{d}{d t} [t]$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.4.3

Умножим $6480$ на $1$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 + \frac{d}{d t} [960]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $960$ является константой относительно $t$ , производная $960$ относительно $t$ равна $0$ .

$24300 t^{2} + 25920 t + 6480 + 0$

Этап 3.5.2

Добавим $24300 t^{2} + 25920 t + 6480$ и $0$ .

$f''' (t) = 24300 t^{2} + 25920 t + 6480$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $24300 t^{2} + 25920 t + 6480$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [24300 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$ .

$\frac{d}{d t} [24300 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [24300 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $24300$ является константой относительно $t$ , производная $24300 t^{2}$ по $t$ равна $24300 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$24300 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24300 (2 t) + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $24300$ .

$48600 t + \frac{d}{d t} [25920 t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [25920 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $25920$ является константой относительно $t$ , производная $25920 t$ по $t$ равна $25920 \frac{d}{d t} [t]$ .

$48600 t + 25920 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6480]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$48600 t + 25920 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6480]$

Этап 4.3.3

Умножим $25920$ на $1$ .

$48600 t + 25920 + \frac{d}{d t} [6480]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $6480$ является константой относительно $t$ , производная $6480$ относительно $t$ равна $0$ .

$48600 t + 25920 + 0$

Этап 4.4.2

Добавим $48600 t + 25920$ и $0$ .

$f^{4} (t) = 48600 t + 25920$