Математический анализ Примеры

$f (x + h) - f (x) = - 1 h x^{2} + 1 h x - 8 h^{2} x + 6 h^{2} - 6 h^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 1 h x^{2} + 1 h x - 8 h^{2} x + 6 h^{2} - 6 h^{3}$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [- 1 h x^{2}] + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$ .

$\frac{d}{d h} [- 1 h x^{2}] + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 1 h x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $- 1 h$ в виде $- h$ .

$\frac{d}{d h} [- h x^{2}] + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $- h x^{2}$ по $h$ равна $- x^{2} \frac{d}{d h} [h]$ .

$- x^{2} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d h} [1 h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [1 h x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $h$ на $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d h} [h x] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.3.2

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $h x$ по $h$ равна $x \frac{d}{d h} [h]$ .

$- x^{2} + x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- x^{2} + x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$- x^{2} + x + \frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 8 h^{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 8 x$ является константой относительно $h$ , производная $- 8 h^{2} x$ по $h$ равна $- 8 x \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$- x^{2} + x - 8 x \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- x^{2} + x - 8 x (2 h) + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + \frac{d}{d h} [6 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d h} [6 h^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $6$ является константой относительно $h$ , производная $6 h^{2}$ по $h$ равна $6 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 6 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 6 (2 h) + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.5.3

Умножим $2$ на $6$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 12 h + \frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$

Этап 1.6

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 6 h^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $h$ , производная $- 6 h^{3}$ по $h$ равна $- 6 \frac{d}{d h} [h^{3}]$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 12 h - 6 \frac{d}{d h} [h^{3}]$

Этап 1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 12 h - 6 (3 h^{2})$

Этап 1.6.3

Умножим $3$ на $- 6$ .

$- x^{2} + x - 16 x h + 12 h - 18 h^{2}$

Этап 1.7

Изменим порядок членов.

$f' (h) = - 18 h^{2} - x^{2} - 16 h x + 12 h + x$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 18 h^{2} - x^{2} - 16 h x + 12 h + x$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [- 18 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$ .

$\frac{d}{d h} [- 18 h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 18 h^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $h$ , производная $- 18 h^{2}$ по $h$ равна $- 18 \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$- 18 \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 18 (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 18$ .

$- 36 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.3

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $h$ , производная $- x^{2}$ относительно $h$ равна $0$ .

$- 36 h + 0 + \frac{d}{d h} [- 16 h x] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 16 h x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 16 x$ является константой относительно $h$ , производная $- 16 h x$ по $h$ равна $- 16 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$- 36 h + 0 - 16 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 36 h + 0 - 16 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.4.3

Умножим $- 16$ на $1$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + \frac{d}{d h} [12 h] + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d h} [12 h]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $12$ является константой относительно $h$ , производная $12 h$ по $h$ равна $12 \frac{d}{d h} [h]$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + 12 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.5.3

Умножим $12$ на $1$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + 12 + \frac{d}{d h} [x]$

Этап 2.6

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$- 36 h + 0 - 16 x + 12 + 0$

Этап 2.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $- 36 h$ и $0$ .

$- 36 h - 16 x + 12 + 0$

Этап 2.7.2

Добавим $- 36 h - 16 x + 12$ и $0$ .

$f'' (h) = - 36 h - 16 x + 12$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 36 h - 16 x + 12$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [- 36 h] + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$ .

$\frac{d}{d h} [- 36 h] + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 36 h]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $h$ , производная $- 36 h$ по $h$ равна $- 36 \frac{d}{d h} [h]$ .

$- 36 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 36 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$

Этап 3.2.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$- 36 + \frac{d}{d h} [- 16 x] + \frac{d}{d h} [12]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 16 x$ является константой относительно $h$ , производная $- 16 x$ относительно $h$ равна $0$ .

$- 36 + 0 + \frac{d}{d h} [12]$

Этап 3.3.2

Поскольку $12$ является константой относительно $h$ , производная $12$ относительно $h$ равна $0$ .

$- 36 + 0 + 0$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $- 36$ и $0$ .

$- 36 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $- 36$ и $0$ .

$f''' (h) = - 36$

Этап 4

Поскольку $- 36$ является константой относительно $h$ , производная $- 36$ относительно $h$ равна $0$ .

$f^{4} (h) = 0$