Математический анализ Примеры

$y = \tan (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Этап 1.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec^{2} (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec^{2} (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.4.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.5

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.6

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $4$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Этап 2.12

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = 8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.4

Умножим $\sec^{2} (2 x)$ на $\sec^{2} (2 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $\sec^{2} (2 x)$ .

$8 (\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 ({\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$8 (\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.5.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{4} (2 x)$ .

$8 (2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)])$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]))$

Этап 3.7

Перенесем $2$ влево от $\tan (2 x)$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Этап 3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 3.8.2

Производная $\sec (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 3.9

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 3.10

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 3.13

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.14

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.16

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.17

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.18

Умножим $2$ на $2$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1)$

Этап 3.20

Умножим $4$ на $1$ .

$8 (2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Этап 3.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (2 \sec^{4} (2 x)) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Этап 3.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.21.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 8 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))$

Этап 3.21.2.2

Умножим $4$ на $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x) + 32 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)$

Этап 3.21.3

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = 32 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 16 \sec^{4} (2 x)$