Математический анализ Примеры

$y = 9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $9 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{4}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $9$ .

$36 x^{3} + \frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x^{3}$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x^{3} + a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$36 x^{3} + a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.3.3

Перенесем $3$ влево от $a$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [b x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [b x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b x^{2}$ по $x$ равна $b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + b (2 x) + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.4.3

Перенесем $2$ влево от $b$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + \frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [c x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c x$ по $x$ равна $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.5.3

Умножим $c$ на $1$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + \frac{d}{d x} [d]$

Этап 1.6

Поскольку $d$ является константой относительно $x$ , производная $d$ относительно $x$ равна $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c + 0$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$ и $0$ .

$36 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Этап 1.7.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $36 x^{3} + c + 3 x^{2} a + 2 b x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{3}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $36$ .

$108 x^{2} + \frac{d}{d x} [c] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Этап 2.3

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c$ относительно $x$ равна $0$ .

$108 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $3 a$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} a$ по $x$ равна $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$108 x^{2} + 0 + 3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $3$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + \frac{d}{d x} [2 b x]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 b x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $2 b$ является константой относительно $x$ , производная $2 b x$ по $x$ равна $2 b \frac{d}{d x} [x]$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b \cdot 1$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$108 x^{2} + 0 + 6 a x + 2 b$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $108 x^{2}$ и $0$ .

$108 x^{2} + 6 a x + 2 b$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 108 x^{2} + 2 b + 6 a x$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $108 x^{2} + 2 b + 6 a x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$ .

$\frac{d}{d x} [108 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [108 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $108$ является константой относительно $x$ , производная $108 x^{2}$ по $x$ равна $108 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$108 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$108 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $108$ .

$216 x + \frac{d}{d x} [2 b] + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Этап 3.3

Поскольку $2 b$ является константой относительно $x$ , производная $2 b$ относительно $x$ равна $0$ .

$216 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 a x]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 a x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $6 a$ является константой относительно $x$ , производная $6 a x$ по $x$ равна $6 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$216 x + 0 + 6 a \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$216 x + 0 + 6 a \cdot 1$

Этап 3.4.3

Умножим $6$ на $1$ .

$216 x + 0 + 6 a$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $216 x$ и $0$ .

$216 x + 6 a$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = 6 a + 216 x$