Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[32]{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[32]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{32}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{32}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{32}$ .

$\frac{1}{32} x^{\frac{1}{32} - 1}$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{32}{32}$ .

$\frac{1}{32} x^{\frac{1}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}}$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{32}{32}$ .

$\frac{1}{32} x^{\frac{1}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{32} x^{\frac{1 - 1 \cdot 32}{32}}$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $32$ .

$\frac{1}{32} x^{\frac{1 - 32}{32}}$

Этап 1.6.2

Вычтем $32$ из $1$ .

$\frac{1}{32} x^{\frac{- 31}{32}}$

Этап 1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{32} x^{- \frac{31}{32}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}$

Этап 1.8.2

Умножим $\frac{1}{32}$ на $\frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{32 x^{\frac{31}{32}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{32}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{32 x^{\frac{31}{32}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}]$ .

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{31}{32}}}$ в виде ${(x^{\frac{31}{32}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{31}{32}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{31}{32}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{\frac{31}{32} \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{31}{32} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Объединим $\frac{31}{32}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{\frac{31 \cdot - 1}{32}}]$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $31$ на $- 1$ .

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 31}{32}}]$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{31}{32}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{31}{32}$ .

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{- \frac{31}{32} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{32}{32}$ .

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{- \frac{31}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{32}{32}$ .

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{- \frac{31}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{\frac{- 31 - 1 \cdot 32}{32}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $32$ .

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{\frac{- 31 - 32}{32}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $32$ из $- 31$ .

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{\frac{- 63}{32}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{32} (- \frac{31}{32} x^{- \frac{63}{32}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{63}{32}}$ и $\frac{31}{32}$ .

$\frac{1}{32} (- \frac{x^{- \frac{63}{32}} \cdot 31}{32})$

Этап 2.10

Умножим $\frac{1}{32}$ на $\frac{x^{- \frac{63}{32}} \cdot 31}{32}$ .

$- \frac{x^{- \frac{63}{32}} \cdot 31}{32 \cdot 32}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $32$ на $32$ .

$- \frac{x^{- \frac{63}{32}} \cdot 31}{1024}$

Этап 2.11.2

Перенесем $31$ влево от $x^{- \frac{63}{32}}$ .

$- \frac{31 \cdot x^{- \frac{63}{32}}}{1024}$

Этап 2.11.3

Перенесем $x^{- \frac{63}{32}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{31}{1024 x^{\frac{63}{32}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{31}{1024}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{31}{1024 x^{\frac{63}{32}}}$ по $x$ равна $- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{63}{32}}}]$ .

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{63}{32}}}]$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{63}{32}}}$ в виде ${(x^{\frac{63}{32}})}^{- 1}$ .

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{63}{32}})}^{- 1}]$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{63}{32}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [x^{\frac{63}{32} \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{63}{32} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Объединим $\frac{63}{32}$ и $- 1$ .

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [x^{\frac{63 \cdot - 1}{32}}]$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $63$ на $- 1$ .

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 63}{32}}]$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{31}{1024} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{63}{32}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{63}{32}$ .

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{- \frac{63}{32} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{- \frac{63}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{- \frac{63}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{\frac{- 63 - 1 \cdot 32}{32}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $32$ .

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{\frac{- 63 - 32}{32}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $32$ из $- 63$ .

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{\frac{- 95}{32}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{31}{1024} (- \frac{63}{32} x^{- \frac{95}{32}})$

Этап 3.9

Объединим $x^{- \frac{95}{32}}$ и $\frac{63}{32}$ .

$- \frac{31}{1024} (- \frac{x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63}{32})$

Этап 3.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{31}{1024}) \frac{x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63}{32}$

Этап 3.10.2

Умножим $\frac{31}{1024}$ на $1$ .

$\frac{31}{1024} \cdot \frac{x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63}{32}$

Этап 3.11

Умножим $\frac{31}{1024}$ на $\frac{x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63}{32}$ .

$\frac{31 (x^{- \frac{95}{32}} \cdot 63)}{1024 \cdot 32}$

Этап 3.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $63$ на $31$ .

$\frac{1953 x^{- \frac{95}{32}}}{1024 \cdot 32}$

Этап 3.12.2

Умножим $1024$ на $32$ .

$\frac{1953 x^{- \frac{95}{32}}}{32768}$

Этап 3.12.3

Перенесем $x^{- \frac{95}{32}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{1953}{32768 x^{\frac{95}{32}}}$