Математический анализ Примеры

$g (t) = \sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sec^{2} (t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (t)$ .

$2 \sec (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)] + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sec (t)$ по $t$ равна $\sec (t) \tan (t)$ .

$2 \sec (t) (\sec (t) \tan (t)) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Этап 1.2.3

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (t) \sec (t)) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Этап 1.2.4

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Этап 1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (t)}^{1 + 1} \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Этап 1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) + \frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \tan^{2} (t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- \tan^{2} (t)$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [\tan^{2} (t)]$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - \frac{d}{d t} [\tan^{2} (t)]$

Этап 1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (t)$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (t)$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 \tan (t) \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

Этап 1.3.3

Производная $\tan (t)$ по $t$ равна $\sec^{2} (t)$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - (2 \tan (t) \sec^{2} (t))$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - 2 \tan (t) \sec^{2} (t)$

Этап 1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок множителей в $- 2 \tan (t) \sec^{2} (t)$ .

$2 \sec^{2} (t) \tan (t) - 2 \sec^{2} (t) \tan (t)$

Этап 1.4.2

Вычтем $2 \sec^{2} (t) \tan (t)$ из $2 \sec^{2} (t) \tan (t)$ .

$f' (t) = 0$

Этап 2

Поскольку $0$ является константой относительно $t$ , производная $0$ относительно $t$ равна $0$ .

$f'' (t) = 0$

Этап 3

Вторая производная $g (t)$ по $t$ равна $0$ .

$0$