Математический анализ Примеры

$f (x) = (2 + 4 x) (3 - 2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 + 4 x$ и $g (x) = 3 - 2 x$ .

$(2 + 4 x) \frac{d}{d x} [3 - 2 x] + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 + 4 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 + 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 + 4 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 + 4 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 + 4 x) (- 2 \cdot 1) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(2 + 4 x) \cdot - 2 + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $2 + 4 x$ .

$- 2 \cdot (2 + 4 x) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 + 4 x]$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $2 + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 2 (2 + 4 x) + (3 - 2 x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 (2 + 4 x) + (3 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 2 (2 + 4 x) + (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (2 + 4 x) + (3 - 2 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.11

Перенесем $4$ влево от $3 - 2 x$ .

$- 2 (2 + 4 x) + 4 \cdot (3 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (2 + 4 x) + 4 (3 - 2 x) \cdot 1$

Этап 1.2.13

Умножим $4$ на $1$ .

$- 2 (2 + 4 x) + 4 (3 - 2 x)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 2 - 2 (4 x) + 4 (3 - 2 x)$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \cdot 2 - 2 (4 x) + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x)$

Этап 1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 - 2 (4 x) + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x)$

Этап 1.3.3.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 4 - 8 x + 4 \cdot 3 + 4 (- 2 x)$

Этап 1.3.3.3

Умножим $4$ на $3$ .

$- 4 - 8 x + 12 + 4 (- 2 x)$

Этап 1.3.3.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- 4 - 8 x + 12 - 8 x$

Этап 1.3.3.5

Добавим $- 4$ и $12$ .

$- 8 x + 8 - 8 x$

Этап 1.3.3.6

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$f' (x) = - 16 x + 8$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 16 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 16$ на $1$ .

$- 16 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 16 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- 16$ и $0$ .

$f'' (x) = - 16$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 16$ .

$- 16$