Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 32 \sqrt{x} + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 32 \sqrt{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 32 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 32 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x - 32 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x - 32 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 32 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.10

Объединим $- 32$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 x + \frac{- 32 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + \frac{- 32}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.12

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.13.2

Сократим общий множитель.

$2 x + \frac{2 \cdot - 16}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.13.3

Перепишем это выражение.

$2 x + \frac{- 16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x - \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{16}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 - 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 - 16 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 16 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 - 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - 16 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.3.4

$2 - 16 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 - 16 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 2.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 2.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 - 16 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 2.3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - 16 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 2.3.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Этап 2.3.13

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Этап 2.3.13.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Этап 2.3.13.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 2.3.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 2.3.13.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Этап 2.3.13.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$2 - 16 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Этап 2.3.13.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 - 16 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 2.3.14

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 16 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.3.15

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$2 + 16 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.3.16

Объединим $16$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 + \frac{16}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.3.17

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 + \frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.3.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 + \frac{2 \cdot 8}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Этап 2.3.18.2

Сократим общий множитель.

$2 + \frac{2 \cdot 8}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.3.18.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2 + \frac{8}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 + \frac{8}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 + \frac{8}{x^{\frac{3}{2}}}$