Математический анализ Примеры

$P (t) = 4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 e^{\frac{1}{2} t} - t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{1}{2} t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t$ .

$\frac{d}{d t} [4 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 e^{\frac{t}{2}}$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = \frac{t}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t}{2}$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t}{2}$ по $t$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$4 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.7

Объединим $e^{\frac{t}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.8

Объединим $4$ и $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4 e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.2.9.2.4

Разделим $2 e^{\frac{t}{2}}$ на $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 e^{\frac{t}{2}} - 1 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ и $0$ .

$f' (t) = 2 e^{\frac{t}{2}} - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 e^{\frac{t}{2}} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 e^{\frac{t}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 e^{\frac{t}{2}}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.2.2

$2 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t}{2}$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t}{2}$ по $t$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$2 (e^{\frac{t}{2}} \frac{1}{2}) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.6

Объединим $e^{\frac{t}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.7

Объединим $2$ и $\frac{e^{\frac{t}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 e^{\frac{t}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2.8.2

Разделим $e^{\frac{t}{2}}$ на $1$ .

$e^{\frac{t}{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$e^{\frac{t}{2}} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $e^{\frac{t}{2}}$ и $0$ .

$f'' (t) = e^{\frac{t}{2}}$

Этап 3

Вторая производная $P (t)$ по $t$ равна $e^{\frac{t}{2}}$ .

$e^{\frac{t}{2}}$