Математический анализ Примеры

$f (t) = \sqrt{8 t^{2}} - t$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sqrt{8 t^{2}} - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sqrt{8 t^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 t^{2}}$ в виде ${(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $8$ из $8 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 (t^{2}))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2.3

Применим правило умножения к $8 (t^{2})$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} {(t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2.4

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{2 (\frac{1}{2})}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t^{1}] + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2.5

Упростим.

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}} t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2.6

Поскольку $8^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $t$ , производная $8^{\frac{1}{2}} t$ по $t$ равна $8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.2.8

Умножим $8^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$8^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- t]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$8^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (t) = 8^{\frac{1}{2}} - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8^{\frac{1}{2}} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [8^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.2

Поскольку $8^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $t$ , производная $8^{\frac{1}{2}}$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + 0$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (t) = 0$

Этап 3

Вторая производная $f (t)$ по $t$ равна $0$ .

$0$