Математический анализ Примеры

$g (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2} (3 t^{2})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем $3$ влево от ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [3 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2} t^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = {(9 t^{2} - 7)}^{2}$ и $g (t) = t^{2}$ .

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

Этап 1.3.2

Перенесем $2$ влево от ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$3 (2 \cdot {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(9 t^{2} - 7)}^{2}])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 9 t^{2} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 t^{2} - 7$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 u \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 t^{2} - 7$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) \frac{d}{d t} [9 t^{2} - 7]))$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

По правилу суммы производная $9 t^{2} - 7$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Этап 1.5.2

Поскольку $9$ является константой относительно $t$ , производная $9 t^{2}$ по $t$ равна $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Этап 1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Этап 1.5.4

Умножим $2$ на $9$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + \frac{d}{d t} [- 7])))$

Этап 1.5.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $t$ , производная $- 7$ относительно $t$ равна $0$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t + 0)))$

Этап 1.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Добавим $18 t$ и $0$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (2 (9 t^{2} - 7) (18 t)))$

Этап 1.5.6.2

Умножим $18$ на $2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{2} (36 (9 t^{2} - 7) t))$

Этап 1.6

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $t$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t \cdot t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Этап 1.6.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1} t^{2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Этап 1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{1 + 2} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Этап 1.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2} - 7)))$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2}) + 36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + t^{3} (36 (9 t^{2})) + t^{3} (36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 ({(9 t^{2} - 7)}^{2} t) + 3 (t^{3} (36 (9 t^{2}))) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.4.2

Умножим $9$ на $36$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{3} (324 t^{2})) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.4.3

Умножим $t^{3}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.3.1

Перенесем $t^{2}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2} t^{3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{2 + 3} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.4.3.3

Добавим $2$ и $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (t^{5} \cdot 324) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.4.4

Перенесем $324$ влево от $t^{5}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 3 (324 \cdot t^{5}) + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.4.5

Умножим $324$ на $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} (36 \cdot - 7))$

Этап 1.7.4.6

Умножим $36$ на $- 7$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (t^{3} \cdot - 252)$

Этап 1.7.4.7

Перенесем $- 252$ влево от $t^{3}$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} + 3 (- 252 \cdot t^{3})$

Этап 1.7.4.8

Умножим $- 252$ на $3$ .

$6 {(9 t^{2} - 7)}^{2} t + 972 t^{5} - 756 t^{3}$

Этап 1.7.5

Изменим порядок членов.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t {(9 t^{2} - 7)}^{2}$

Этап 1.7.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Перепишем ${(9 t^{2} - 7)}^{2}$ в виде $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t ((9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7))$

Этап 1.7.6.2

Развернем $(9 t^{2} - 7) (9 t^{2} - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2} - 7) - 7 (9 t^{2} - 7))$

Этап 1.7.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2} - 7))$

Этап 1.7.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 t^{2} (9 t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Этап 1.7.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2} t^{2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Этап 1.7.6.3.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.3.1.2.1

Перенесем $t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 (t^{2} t^{2}) + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Этап 1.7.6.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{2 + 2} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Этап 1.7.6.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (9 \cdot 9 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Этап 1.7.6.3.1.3

Умножим $9$ на $9$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} + 9 t^{2} \cdot - 7 - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Этап 1.7.6.3.1.4

Умножим $- 7$ на $9$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 7 (9 t^{2}) - 7 \cdot - 7)$

Этап 1.7.6.3.1.5

Умножим $9$ на $- 7$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} - 7 \cdot - 7)$

Этап 1.7.6.3.1.6

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 63 t^{2} - 63 t^{2} + 49)$

Этап 1.7.6.3.2

Вычтем $63 t^{2}$ из $- 63 t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4} - 126 t^{2} + 49)$

Этап 1.7.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 t (81 t^{4}) + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

Этап 1.7.6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 t (- 126 t^{2}) + 6 t \cdot 49$

Этап 1.7.6.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 6 t \cdot 49$

Этап 1.7.6.5.3

Умножим $49$ на $6$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t \cdot t^{4} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Этап 1.7.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.6.1

Умножим $t$ на $t^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.6.1.1

Перенесем $t^{4}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Этап 1.7.6.6.1.2

Умножим $t^{4}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.6.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 (t^{4} t^{1}) + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Этап 1.7.6.6.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{4 + 1} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Этап 1.7.6.6.1.3

Добавим $4$ и $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 6 \cdot 81 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Этап 1.7.6.6.2

Умножим $6$ на $81$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t \cdot t^{2} + 294 t$

Этап 1.7.6.6.3

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.6.3.1

Перенесем $t^{2}$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t) + 294 t$

Этап 1.7.6.6.3.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.6.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 (t^{2} t^{1}) + 294 t$

Этап 1.7.6.6.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{2 + 1} + 294 t$

Этап 1.7.6.6.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} + 6 \cdot - 126 t^{3} + 294 t$

Этап 1.7.6.6.4

Умножим $6$ на $- 126$ .

$972 t^{5} - 756 t^{3} + 486 t^{5} - 756 t^{3} + 294 t$

Этап 1.7.7

Добавим $972 t^{5}$ и $486 t^{5}$ .

$1458 t^{5} - 756 t^{3} - 756 t^{3} + 294 t$

Этап 1.7.8

Вычтем $756 t^{3}$ из $- 756 t^{3}$ .

$f' (t) = 1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1458 t^{5} - 1512 t^{3} + 294 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1458 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [1458 t^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $1458$ является константой относительно $t$ , производная $1458 t^{5}$ по $t$ равна $1458 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$1458 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$1458 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $1458$ .

$7290 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 1512 t^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1512$ является константой относительно $t$ , производная $- 1512 t^{3}$ по $t$ равна $- 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$7290 t^{4} - 1512 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [294 t]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$7290 t^{4} - 1512 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [294 t]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 1512$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + \frac{d}{d t} [294 t]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [294 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $294$ является константой относительно $t$ , производная $294 t$ по $t$ равна $294 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $294$ на $1$ .

$f'' (t) = 7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$

Этап 3

Вторая производная $g (t)$ по $t$ равна $7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$ .

$7290 t^{4} - 4536 t^{2} + 294$