Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{1 - 7 x^{7}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 1 - 7 x^{7}$ .

$\frac{(1 - 7 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(1 - 7 x^{7}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $3$ влево от $1 - 7 x^{7}$ .

$\frac{3 \cdot (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $1 - 7 x^{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- 7 x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.2.6

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{7}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} - x^{3} (- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}])}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.2.7

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 7 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 7 x^{3} (7 x^{6})}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.2.9

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{3} x^{6}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.3

Умножим $x^{3}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $x^{6}$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 (x^{6} x^{3})}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{6 + 3}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.3.3

Добавим $6$ и $3$ .

$\frac{3 (1 - 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- 7 x^{7})) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{7}) x^{2} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2

Умножим $x^{7}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 (x^{2} x^{7})) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{2 + 7}) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.3

Добавим $2$ и $7$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 7 x^{9}) + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.3

Умножим $- 7$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 21 x^{9} + 49 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Добавим $- 21 x^{9}$ и $49 x^{9}$ .

$\frac{3 x^{2} + 28 x^{9}}{{(1 - 7 x^{7})}^{2}}$

Этап 1.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{28 x^{9} + 3 x^{2}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Этап 1.4.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $28 x^{9} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $28 x^{9}$ .

$\frac{x^{2} (28 x^{7}) + 3 x^{2}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Этап 1.4.5.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (28 x^{7}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Этап 1.4.5.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (28 x^{7}) + x^{2} \cdot 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{({(- 7 x^{7} + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(- 7 x^{7} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} (28 x^{7} + 3)] - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 28 x^{7} + 3$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [28 x^{7} + 3] + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $28 x^{7} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [28 x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 x^{7}$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (28 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.4.4

Умножим $7$ на $28$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6} + \frac{d}{d x} [3]) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.4.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6} + 0) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.4.6

Добавим $196 x^{6}$ и $0$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{2} (196 x^{6}) + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $x^{6}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{6} x^{2} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{6 + 2} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Добавим $6$ и $2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (x^{8} \cdot 196 + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перенесем $196$ влево от $x^{8}$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 \cdot x^{8} + (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + (28 x^{7} + 3) (2 x)) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.6.3

Перенесем $2$ влево от $28 x^{7} + 3$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 \cdot (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) \frac{d}{d x} [{(- 7 x^{7} + 1)}^{2}]}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = - 7 x^{7} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 7 x^{7} + 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (2 u \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 x^{7} + 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - x^{2} (28 x^{7} + 3) (2 (- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.8

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.8.2

Вынесем множитель $- 7 x^{7} + 1$ из ${(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вынесем множитель $- 7 x^{7} + 1$ из ${(- 7 x^{7} + 1)}^{2} (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.8.2.2

Вынесем множитель $- 7 x^{7} + 1$ из $- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) ((- 7 x^{7} + 1) \frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) + (- 7 x^{7} + 1) (- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.8.2.3

Вынесем множитель $- 7 x^{7} + 1$ из $(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x)) + (- 7 x^{7} + 1) (- 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{4}}$

Этап 2.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $- 7 x^{7} + 1$ из ${(- 7 x^{7} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{(- 7 x^{7} + 1) {(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) ((- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1]))}{(- 7 x^{7} + 1) {(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7} + 1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $- 7 x^{7} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (\frac{d}{d x} [- 7 x^{7}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.11

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{7}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 7 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 7 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.13

Умножим $7$ на $- 7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6} + \frac{d}{d x} [1])}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6} + 0)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $- 49 x^{6}$ и $0$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) - 2 x^{2} (28 x^{7} + 3) (- 49 x^{6})}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.15.2

Умножим $- 49$ на $- 2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{2} (28 x^{7} + 3) x^{6}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.16

Умножим $x^{2}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Перенесем $x^{6}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 (x^{6} x^{2}) (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.16.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{6 + 2} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.16.3

Добавим $6$ и $2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7} + 3) x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + (2 (28 x^{7}) + 2 \cdot 3) x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7}) x + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{7}) x + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.1.1

Умножим $x^{7}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 (x \cdot x^{7})) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 (x^{1} x^{7})) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{1 + 7}) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.1.1.3

Добавим $1$ и $7$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 2 (28 x^{8}) + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.1.2

Умножим $28$ на $2$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 56 x^{8} + 2 \cdot 3 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (196 x^{8} + 56 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.2

Добавим $196 x^{8}$ и $56 x^{8}$ .

$\frac{(- 7 x^{7} + 1) (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.3

Развернем $(- 7 x^{7} + 1) (252 x^{8} + 6 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8} + 6 x) + 1 (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8} + 6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 7 x^{7} (252 x^{8}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{7} x^{8} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.2

Умножим $x^{7}$ на $x^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.4.1.2.1

Перенесем $x^{8}$ .

$\frac{- 7 \cdot 252 (x^{8} x^{7}) - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{8 + 7} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.2.3

Добавим $8$ и $7$ .

$\frac{- 7 \cdot 252 x^{15} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.3

Умножим $- 7$ на $252$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 x^{7} (6 x) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{7} x + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.5

Умножим $x^{7}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.4.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 (x \cdot x^{7}) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.4.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 (x^{1} x^{7}) + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{1 + 7} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.5.3

Добавим $1$ и $7$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 7 \cdot 6 x^{8} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.6

Умножим $- 7$ на $6$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 1 (252 x^{8}) + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.7

Умножим $252 x^{8}$ на $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 252 x^{8} + 1 (6 x) + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.1.8

Умножим $6 x$ на $1$ .

$\frac{- 1764 x^{15} - 42 x^{8} + 252 x^{8} + 6 x + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.4.2

Добавим $- 42 x^{8}$ и $252 x^{8}$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 x^{8} (28 x^{7}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{8} x^{7} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.6

Умножим $x^{8}$ на $x^{7}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.4.1.6.1

Перенесем $x^{7}$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 (x^{7} x^{8}) + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{7 + 8} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.6.3

Добавим $7$ и $8$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 98 \cdot 28 x^{15} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.7

Умножим $98$ на $28$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 2744 x^{15} + 98 x^{8} \cdot 3}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.1.8

Умножим $3$ на $98$ .

$\frac{- 1764 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 2744 x^{15} + 294 x^{8}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.2

Добавим $- 1764 x^{15}$ и $2744 x^{15}$ .

$\frac{980 x^{15} + 210 x^{8} + 6 x + 294 x^{8}}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.4.3

Добавим $210 x^{8}$ и $294 x^{8}$ .

$\frac{980 x^{15} + 504 x^{8} + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.5

Вынесем множитель $2 x$ из $980 x^{15} + 504 x^{8} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $980 x^{15}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 504 x^{8} + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.5.2

Вынесем множитель $2 x$ из $504 x^{8}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7}) + 6 x}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.5.3

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x$ .

$\frac{2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7}) + 2 x (3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.5.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (490 x^{14}) + 2 x (252 x^{7})$ .

$\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7}) + 2 x (3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 2.17.5.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (490 x^{14} + 252 x^{7}) + 2 x (3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (490 x^{14} + 252 x^{7} + 3)}{{(- 7 x^{7} + 1)}^{3}}$