Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{5 x^{2} + 15}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{5 x^{2} + 15}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 15}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 15}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 5 x^{2} + 15$ .

$2 \frac{(5 x^{2} + 15) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(5 x^{2} + 15) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $5 x^{2} + 15$ на $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Умножим $2$ на $5$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.7

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.8.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x \cdot x}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 (x^{1} x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 (x^{1} x^{1})}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x^{1 + 1}}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x^{2}}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.8

Вычтем $10 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$2 \frac{- 5 x^{2} + 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.9

Объединим $2$ и $\frac{- 5 x^{2} + 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 5 x^{2} + 15)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- 5 x^{2}) + 2 \cdot 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 2 \cdot 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 30}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.3

Вынесем множитель $10$ из $- 10 x^{2} + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Вынесем множитель $10$ из $- 10 x^{2}$ .

$\frac{10 (- x^{2}) + 30}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.3.2

Вынесем множитель $10$ из $30$ .

$\frac{10 (- x^{2}) + 10 (3)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.3.3

Вынесем множитель $10$ из $10 (- x^{2}) + 10 (3)$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 (x^{2}) + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 5 \cdot 3)}^{2}}$

Этап 1.10.4.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 5 \cdot 3$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 (x^{2} + 3))}^{2}}$

Этап 1.10.4.2

Применим правило умножения к $5 (x^{2} + 3)$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{5^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.4.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{25 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.5

Сократим общий множитель $10$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.5.1

Вынесем множитель $5$ из $10 (- x^{2} + 3)$ .

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{25 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25 {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{5 (5 {(x^{2} + 3)}^{2})}$

Этап 1.10.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{5 (5 {(x^{2} + 3)}^{2})}$

Этап 1.10.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (- x^{2} + 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) + 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.7

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x^{2} - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.9

Перепишем $- (x^{2} - 3)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{2} - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2 (x^{2} - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 (x^{2} - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ по $x$ равна $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Этап 2.2

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) (2 \cdot (x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.5.3

Умножим $\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ на $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{(2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)) \cdot 2}{{(x^{2} + 3)}^{4} \cdot 5}$

Этап 2.5.5.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.4.1

Перенесем $2$ влево от $2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)$ .

$- \frac{2 \cdot (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4} \cdot 5}$

Этап 2.5.5.4.2

Перенесем $5$ влево от ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{5 \cdot {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) ((x^{2} + 3) x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1

Перепишем ${(x^{2} + 3)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ .

$- \frac{2 (2 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.2

Развернем $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3.2

Добавим $3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 6 x^{2} + 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 2 (6 x^{2}) + 2 \cdot 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 18) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 x^{4} x + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2 (2 (x^{1} x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (2 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 (x^{1} x^{2}) + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{3} + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 x^{5}) + 2 (12 x^{3}) + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.9.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 2 (12 x^{3}) + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.9.2

Умножим $12$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.9.3

Умножим $18$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.10

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.11.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.11.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x^{1} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.11.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.11.2

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.12

Развернем $(- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + 3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{2} x + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{1 + 2} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.5

Умножим $3$ на $12$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.2

Добавим $- 12 x^{3}$ и $12 x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.3

Добавим $- 4 x^{5}$ и $0$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.15

Умножим $- 4$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x - 8 x^{5} + 2 (36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.16

Умножим $36$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x - 8 x^{5} + 72 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.2

Вычтем $8 x^{5}$ из $4 x^{5}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 72 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.3

Добавим $36 x$ и $72 x$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 108 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{5}$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 24 x^{3} + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $24 x^{3}$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2}) + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $108 x$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2}) + 4 x (27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2})$ .

$- \frac{4 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 4 x (27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 4 x (27)$ .

$- \frac{4 x (- x^{4} + 6 x^{2} + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- \frac{4 x (- u^{2} + 6 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.4.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 u$ .

$- \frac{4 x (- u^{2} + 6 (u) + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.1.2

Запишем $6$ как $- 3$ плюс $9$

$- \frac{4 x (- u^{2} + (- 3 + 9) u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x (- u^{2} - 3 u + 9 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- \frac{4 x ((- u^{2} - 3 u) + 9 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- \frac{4 x (u (- u - 3) - 9 (- u - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u - 3$ .

$- \frac{4 x ((- u - 3) (u - 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- \frac{4 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{4 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.7

Разложим на множители.

$- \frac{4 x (- x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6

Сократим общий множитель $- x^{2} - 3$ и ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2}) - 3) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2}) - 1 (3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.4

Перепишем $- (x^{2} + 3)$ в виде $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$- \frac{4 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.5

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $4 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)$ .

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $5 {(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 3) (5 {(x^{2} + 3)}^{3})}$

Этап 2.6.6.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 3) (5 {(x^{2} + 3)}^{3})}$

Этап 2.6.6.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{(4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.6.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{- 4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{(4 x (x + 3)) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.6.9

Умножим $- - \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.6.9.2

Умножим $\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$