Математический анализ Примеры

$f (x) = π - \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $π - \sqrt[3]{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.2.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.2.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.3

Вычтем $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ из $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{5}{3}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Этап 2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

Этап 2.10.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

Этап 2.11

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Этап 2.12.2

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Этап 2.12.3

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$