Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{6 x - 7}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x - 7}$ в виде ${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 6 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x - 7$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(6 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(6 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $6 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.11

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 1.12

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Этап 1.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Этап 1.13.2

Объединим $\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ и $6$ .

$\frac{6}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.14.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{3}{{(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{{(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(6 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Этап 2.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \frac{d}{d x} [{(6 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x - 7$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x - 7$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (- \frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{1}{2} {(6 x - 7)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.7.2

Объединим ${(6 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{{(6 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Перенесем ${(6 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.7.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 7])$

Этап 2.7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 2.7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 7]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $6 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- \frac{3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.9

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.11

Умножим $6$ на $1$ .

$- \frac{3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.12

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} (6 + 0)$

Этап 2.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $6$ и $0$ .

$- \frac{3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 6$

Этап 2.13.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 \frac{3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.13.3

Объединим $- 6$ и $\frac{3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.13.4

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{- 18}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.13.5

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$\frac{2 \cdot - 9}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 9}{2 ({(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 2.14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 9}{2 {(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 9}{{(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{9}{{(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{9}{{(6 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$