Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} i + 2 x j + x k$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i) + 2 x j + x k$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} \cdot (x^{\frac{3}{2}} i)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} \cdot i] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ и $i$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.3

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} i}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.4

Поскольку $\frac{2 i}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{\frac{3}{2}} i}{3}$ по $x$ равна $\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2 i}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.9.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{2 i}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.10

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 i}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.11

Умножим $\frac{2 i}{3}$ на $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 i (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.12

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.13

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.14

Сократим общий множитель.

$\frac{6 i x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.2.15

Разделим $i x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x j] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x j]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 j$ является константой относительно $x$ , производная $2 x j$ по $x$ равна $2 j \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + \frac{d}{d x} [x k]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x k]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $x k$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $k$ на $1$ .

$f' (x) = i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $i x^{\frac{1}{2}} + 2 j + k$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$ .

$\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [i x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $i$ является константой относительно $x$ , производная $i x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$i \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$i (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$i (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$i \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.9

Объединим $i$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{i x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.2.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 j] + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2 j$ является константой относительно $x$ , производная $2 j$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + \frac{d}{d x} [k]$

Этап 2.3.2

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{i}{2 x^{\frac{1}{2}}}$