Математический анализ Примеры

$f (x) = \log_{5} (\tan (2 x))$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{5} (x)$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\log_{5} (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (2 x)$ .

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Этап 1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\sec^{2} (2 x)$ и $\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Объединим $2$ и $\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{2}{\ln (5)}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ по $x$ равна $\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (2 x)$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (2 x)$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.4

Перенесем $2$ влево от $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.5.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.6

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.7

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.10

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.11

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.13

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.13.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.13.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.13.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.13.5

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.14

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.14.2

Производная $\tan (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.14.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.16

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.17

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.18

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \cdot 1}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.20

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.20.2

Умножим $\frac{2}{\ln (5)}$ на $\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$ .

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.21.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.21.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{8 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

Этап 2.21.3

Изменим порядок членов.

$\frac{8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

Этап 2.21.4

Вынесем множитель $4 \sec^{2} (2 x)$ из $8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.4.1

Вынесем множитель $4 \sec^{2} (2 x)$ из $8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

Этап 2.21.4.2

Вынесем множитель $4 \sec^{2} (2 x)$ из $- 4 \sec^{4} (2 x)$ .

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

Этап 2.21.4.3

Вынесем множитель $4 \sec^{2} (2 x)$ из $4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$ .

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$