Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \frac{1}{x} + \sqrt{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + \frac{1}{x} + \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x^{2}} + 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 2.4.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.4.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.4.4

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 2.4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 2.4.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 2.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 2.4.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 2.4.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Этап 2.4.13

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Этап 2.4.13.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 2.4.14

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.4.15

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$2 x^{- 3} + 0 - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Этап 2.4.16

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{- 3} + 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{3}} + 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.5.2.2

Добавим $\frac{2}{x^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$