Математический анализ Примеры

$V (t) = A e^{k t} \sin (b t)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $A$ является константой относительно $t$ , производная $A e^{k t} \sin (b t)$ по $t$ равна $A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ .

$A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = e^{k t}$ и $g (t) = \sin (b t)$ .

$A (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = b t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $b t$ .

$A (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$A (e^{k t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $b t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $b$ является константой относительно $t$ , производная $b t$ по $t$ равна $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 1.4.3

Умножим $b$ на $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 1.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t]))$

Этап 1.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

Этап 1.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $k$ является константой относительно $t$ , производная $k t$ по $t$ равна $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

Этап 1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Этап 1.6.3

Умножим $k$ на $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Этап 1.7.2

Избавимся от скобок.

$A e^{k t} (\cos (b t) b) + A \sin (b t) (e^{k t} k)$

Этап 1.7.3

Изменим порядок членов.

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$

Этап 1.7.4

Изменим порядок множителей в $e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$ .

$f' (t) = A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ .

$\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [A b e^{k t} \cos (b t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $A b$ является константой относительно $t$ , производная $A b e^{k t} \cos (b t)$ по $t$ равна $A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)]$ .

$A b \frac{d}{d t} [e^{k t} \cos (b t)] + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.2

$A b (e^{k t} \frac{d}{d t} [\cos (b t)] + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $b t$ .

$A b (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $b t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.4

Поскольку $b$ является константой относительно $t$ , производная $b t$ по $t$ равна $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}]) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.6.2

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t])) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.7

Поскольку $k$ является константой относительно $t$ , производная $k t$ по $t$ равна $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) (b \cdot 1)) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.9

Умножим $b$ на $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} (k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.2.10

Умножим $k$ на $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + \frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [A k e^{k t} \sin (b t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $A k$ является константой относительно $t$ , производная $A k e^{k t} \sin (b t)$ по $t$ равна $A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

Этап 2.3.2

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $b t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 2.3.3.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $b t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 2.3.4

Поскольку $b$ является константой относительно $t$ , производная $b t$ по $t$ равна $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Этап 2.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

Этап 2.3.6.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ имеет вид $a^{u_{4}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{u_{4}} \frac{d}{d t} [k t]))$

Этап 2.3.6.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $k t$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

Этап 2.3.7

Поскольку $k$ является константой относительно $t$ , производная $k t$ по $t$ равна $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Этап 2.3.9

Умножим $b$ на $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Этап 2.3.10

Умножим $k$ на $1$ .

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b) + \cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$A b (e^{k t} (- \sin (b t) b)) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$A (b^{1} b) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Этап 2.4.3.2

Возведем $b$ в степень $1$ .

$A (b^{1} b^{1}) (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Этап 2.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A b^{1 + 1} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Этап 2.4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Этап 2.4.3.5

Возведем $k$ в степень $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k) (\sin (b t) (e^{k t}))$

Этап 2.4.3.6

Возведем $k$ в степень $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (k^{1} k^{1}) (\sin (b t) (e^{k t}))$

Этап 2.4.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{1 + 1} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Этап 2.4.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + A b (\cos (b t) (e^{k t} k)) + A k (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Этап 2.4.3.9

Изменим порядок $k$ и $b$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + b k A e^{k t} \cos (b t) + b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Этап 2.4.3.10

Добавим $b k A e^{k t} \cos (b t)$ и $b k A e^{k t} \cos (b t)$ .

$A b^{2} (e^{k t} (- \sin (b t))) + 2 b k A e^{k t} \cos (b t) + A k^{2} (\sin (b t) (e^{k t}))$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$

Этап 2.4.5

Изменим порядок множителей в $- e^{k t} b^{2} A \sin (b t) + 2 e^{k t} A b k \cos (b t) + e^{k t} k^{2} A \sin (b t)$ .

$f'' (t) = - b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$

Этап 3

Вторая производная $V (t)$ по $t$ равна $- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$ .

$- b^{2} A e^{k t} \sin (b t) + 2 A b k e^{k t} \cos (b t) + k^{2} A e^{k t} \sin (b t)$