Математический анализ Примеры

$f (x) = (4 x^{2} + 3 x) \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{2} + 3 x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Этап 1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 1.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3 \cdot 1)$

Этап 1.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x + 3)$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} (- \sin (x)) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Этап 1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) + 3 x (- \sin (x)) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Этап 1.4.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + \cos (x) \cdot 3$

Этап 1.4.3.3

Перенесем $3$ влево от $\cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + \cos (x) (8 x) + 3 \cos (x)$

Этап 1.4.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{2} \sin (x) - 3 x \sin (x) + 8 x \cos (x) + 3 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2} \sin (x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.2.2

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x \sin (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.3.2

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.3.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x \cos (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.4.2

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.4.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.4.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.5.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 3 (- \sin (x))$

Этап 2.5.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 4 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x) + \sin (x)) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x^{2} \cos (x)) - 4 (\sin (x) (2 x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Этап 2.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 (\sin (x) (x)) - 3 (x \cos (x)) - 3 \sin (x) + 8 (x (- \sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Этап 2.6.4.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 \sin (x) x - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) - 8 (x (\sin (x))) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Этап 2.6.4.3

Вычтем $8 x \sin (x)$ из $- 8 \sin (x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.3.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 8 x \sin (x) - 8 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Этап 2.6.4.3.2

Вычтем $8 x \sin (x)$ из $- 8 x \sin (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 3 \sin (x) + 8 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Этап 2.6.4.4

Вычтем $3 \sin (x)$ из $- 3 \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$ .

$- 4 x^{2} \cos (x) - 16 x \sin (x) - 3 x \cos (x) - 6 \sin (x) + 8 \cos (x)$