Математический анализ Примеры

$g (x) = 8 x {(2 x - 5)}^{9}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x {(2 x - 5)}^{9}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 5)}^{9}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(2 x - 5)}^{9}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{9}] + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{9}$ и $g (x) = 2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 5$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$8 (x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 5$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$8 (x (9 {(2 x - 5)}^{8} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.6.2

Умножим $2$ на $9$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9} \cdot 1)$

Этап 1.4.8

Умножим ${(2 x - 5)}^{9}$ на $1$ .

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8}) + {(2 x - 5)}^{9})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (x (18 {(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Этап 1.5.2

Умножим $18$ на $8$ .

$144 (x ({(2 x - 5)}^{8})) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $8 {(2 x - 5)}^{8}$ из $144 x {(2 x - 5)}^{8} + 8 {(2 x - 5)}^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $8 {(2 x - 5)}^{8}$ из $144 x {(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{9}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $8 {(2 x - 5)}^{8}$ из $8 {(2 x - 5)}^{9}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $8 {(2 x - 5)}^{8}$ из $8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x) + 8 {(2 x - 5)}^{8} (2 x - 5)$ .

$8 {(2 x - 5)}^{8} (18 x + 2 x - 5)$

Этап 1.5.4

Добавим $18 x$ и $2 x$ .

$f' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 {(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8} (20 x - 5)]$

Этап 2.2

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [20 x - 5] + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $20 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Этап 2.3.2

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Этап 2.3.4

Умножим $20$ на $1$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} (20 + 0) + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $20$ и $0$ .

$8 ({(2 x - 5)}^{8} \cdot 20 + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $20$ влево от ${(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 (20 \cdot {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{8}])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 u^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (20 x - 5) (8 {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5]))$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $8$ влево от $20 x - 5$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 \cdot (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 2.5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 2.5.5

Умножим $2$ на $1$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 2.5.6

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} (2 + 0))$

Этап 2.5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7} \cdot 2)$

Этап 2.5.7.2

Умножим $2$ на $8$ .

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + 16 (20 x - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8} + (16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (20 {(2 x - 5)}^{8}) + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Этап 2.6.3

Умножим $20$ на $8$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((16 (20 x) + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Этап 2.6.4

Умножим $20$ на $16$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x + 16 \cdot - 5) {(2 x - 5)}^{7})$

Этап 2.6.5

Умножим $16$ на $- 5$ .

$160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 ((320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7})$

Этап 2.6.6

Вынесем множитель $8 {(2 x - 5)}^{7}$ из $160 {(2 x - 5)}^{8} + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

Вынесем множитель $8 {(2 x - 5)}^{7}$ из $160 {(2 x - 5)}^{8}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$

Этап 2.6.6.2

Вынесем множитель $8 {(2 x - 5)}^{7}$ из $8 (320 x - 80) {(2 x - 5)}^{7}$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$

Этап 2.6.6.3

Вынесем множитель $8 {(2 x - 5)}^{7}$ из $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{7} (320 x - 80)$ .

$f'' (x) = 8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$

Этап 3

Вторая производная $g (x)$ по $x$ равна $8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$ .

$8 {(2 x - 5)}^{7} (20 (2 x - 5) + 320 x - 80)$