Математический анализ Примеры

$y (x) = (9 x^{2} - 7 x) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 9 x^{2} - 7 x$ и $g (x) = 18 x - \frac{97}{x}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [18 x - \frac{97}{x}] + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $18 x - \frac{97}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Этап 1.2.2

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Этап 1.2.4

Умножим $18$ на $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{d}{d x} [- \frac{97}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 97$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{97}{x}$ по $x$ равна $- 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Этап 1.2.6

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 - 97 (- x^{- 2})) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Этап 1.2.8

Умножим $- 1$ на $- 97$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 7 x]$

Этап 1.2.9

По правилу суммы производная $9 x^{2} - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Этап 1.2.10

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Этап 1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Этап 1.2.12

Умножим $2$ на $9$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Этап 1.2.13

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7 \cdot 1)$

Этап 1.2.15

Умножим $- 7$ на $1$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 x^{- 2}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + 97 \frac{1}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Этап 1.3.2

Объединим $97$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(9 x^{2} - 7 x) (18 + \frac{97}{x^{2}}) + (18 x - \frac{97}{x}) (18 x - 7)$

Этап 1.3.3

Изменим порядок членов.

$(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Развернем $(18 + \frac{97}{x^{2}}) (9 x^{2} - 7 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 (9 x^{2} - 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2} - 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$18 (9 x^{2}) + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Умножим $9$ на $18$ .

$162 x^{2} + 18 (- 7 x) + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.2

Умножим $- 7$ на $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{97}{x^{2}} (9 x^{2}) + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$162 x^{2} - 126 x + 9 \frac{97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.4

Умножим $9 \frac{97}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.4.1

Объединим $9$ и $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{9 \cdot 97}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.4.2

Умножим $9$ на $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$162 x^{2} - 126 x + \frac{873}{x^{2}} x^{2} + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{97}{x^{2}} (- 7 x) + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - 7 \frac{97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.7

Умножим $- 7 \frac{97}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.7.1

Объединим $- 7$ и $\frac{97}{x^{2}}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 7 \cdot 97}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.7.2

Умножим $- 7$ на $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x^{2}} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.8.2

Сократим общий множитель.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x \cdot x} x + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.8.3

Перепишем это выражение.

$162 x^{2} - 126 x + 873 + \frac{- 679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + (18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.3

Развернем $(18 x - 7) (18 x - \frac{97}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x - \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x - \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 x (18 x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x \cdot x + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.2.1

Перенесем $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 (x \cdot x) + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 18 \cdot 18 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.3

Умножим $18$ на $18$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x (- \frac{97}{x}) - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{97}{x}$ в числитель.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 x \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.4.2

Вынесем множитель $x$ из $18 x$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.4.3

Сократим общий множитель.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + x \cdot 18 \frac{- 97}{x} - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.4.4

Перепишем это выражение.

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} + 18 \cdot - 97 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.5

Умножим $18$ на $- 97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 7 (18 x) - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.6

Умножим $18$ на $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x - 7 (- \frac{97}{x})$

Этап 1.3.4.4.7

Умножим $- 7 (- \frac{97}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.4.7.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 7 \frac{97}{x}$

Этап 1.3.4.4.7.2

Объединим $7$ и $\frac{97}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{7 \cdot 97}{x}$

Этап 1.3.4.4.7.3

Умножим $7$ на $97$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$

Этап 1.3.5

Объединим противоположные члены в $162 x^{2} - 126 x + 873 - \frac{679}{x} + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + \frac{679}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $- \frac{679}{x}$ и $\frac{679}{x}$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x + 0$

Этап 1.3.5.2

Добавим $162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$ и $0$ .

$162 x^{2} - 126 x + 873 + 324 x^{2} - 1746 - 126 x$

Этап 1.3.6

Добавим $162 x^{2}$ и $324 x^{2}$ .

$486 x^{2} - 126 x + 873 - 1746 - 126 x$

Этап 1.3.7

Вычтем $126 x$ из $- 126 x$ .

$486 x^{2} - 252 x + 873 - 1746$

Этап 1.3.8

Вычтем $1746$ из $873$ .

$f' (x) = 486 x^{2} - 252 x - 873$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $486 x^{2} - 252 x - 873$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$ .

$\frac{d}{d x} [486 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [486 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $486$ является константой относительно $x$ , производная $486 x^{2}$ по $x$ равна $486 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$486 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$486 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $486$ .

$972 x + \frac{d}{d x} [- 252 x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 252 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 252$ является константой относительно $x$ , производная $- 252 x$ по $x$ равна $- 252 \frac{d}{d x} [x]$ .

$972 x - 252 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 873]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$972 x - 252 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 252$ на $1$ .

$972 x - 252 + \frac{d}{d x} [- 873]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 873$ является константой относительно $x$ , производная $- 873$ относительно $x$ равна $0$ .

$972 x - 252 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $972 x - 252$ и $0$ .

$f'' (x) = 972 x - 252$

Этап 3

Вторая производная $y (x)$ по $x$ равна $972 x - 252$ .

$972 x - 252$