Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{4} - 5 x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 x^{3} - 15 x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 x^{3} - 15 x^{2} + 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.4.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.4.9

Объединим $6$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.4.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.4.11

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.4.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.4.12.2

Сократим общий множитель.

$8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.4.12.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{2}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 15$ .

$24 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.4.4

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 2.4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 2.4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 2.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 2.4.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 2.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 2.4.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 2.4.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 1}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Этап 2.4.13

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Этап 2.4.13.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Этап 2.4.13.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 2.4.14

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 x^{2} - 30 x + 3 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.4.15

Умножим $- 1$ на $3$ .

$24 x^{2} - 30 x - 3 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.16

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$24 x^{2} - 30 x + \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 24 x^{2} - 30 x - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x^{2} - 30 x - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$24 x^{2} - 30 x - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$