Математический анализ Примеры

$f (x) = {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{9}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{9}$ и $g (x) = 3 x^{2} - 8 x + 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$9 u^{8} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 8 x + 80$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80])$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80])$

Этап 1.2.7

Умножим $- 8$ на $1$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 + \frac{d}{d x} [80])$

Этап 1.2.8

Поскольку $80$ является константой относительно $x$ , производная $80$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8 + 0)$

Этап 1.2.9

Добавим $6 x - 8$ и $0$ .

$f' (x) = 9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 x - 8)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}$ и $g (x) = 6 x - 8$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} \frac{d}{d x} [6 x - 8] + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $6 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Этап 2.3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Этап 2.3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} (6 + 0) + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $6$ и $0$ .

$9 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} \cdot 6 + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $6$ влево от ${(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}$ .

$9 (6 \cdot {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) (8 u^{7} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + (6 x - 8) (8 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $8$ влево от $6 x - 8$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 \cdot (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80])$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 8 x + 80$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 2.5.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 2.5.5

Умножим $2$ на $3$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 2.5.6

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 2.5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 2.5.8

Умножим $- 8$ на $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 2.5.9

Поскольку $80$ является константой относительно $x$ , производная $80$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8 + 0))$

Этап 2.5.10

Добавим $6 x - 8$ и $0$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 (6 x - 8) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (6 x - 8))$

Этап 2.6

Возведем $6 x - 8$ в степень $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 ({(6 x - 8)}^{1} (6 x - 8)) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Этап 2.7

Возведем $6 x - 8$ в степень $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 ({(6 x - 8)}^{1} {(6 x - 8)}^{1}) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 {(6 x - 8)}^{1 + 1} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 8 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (6 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}) + 9 (8 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Этап 2.10.2

Умножим $6$ на $9$ .

$54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 9 (8 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Этап 2.10.3

Умножим $8$ на $9$ .

$54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 72 ({(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7})$

Этап 2.10.4

Вынесем множитель $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ из $54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8} + 72 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Вынесем множитель $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ из $54 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{8}$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80)) + 72 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$

Этап 2.10.4.2

Вынесем множитель $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ из $72 {(6 x - 8)}^{2} {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (4 {(6 x - 8)}^{2})$

Этап 2.10.4.3

Вынесем множитель $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}$ из $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (4 {(6 x - 8)}^{2})$ .

$f'' (x) = 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2} - 8 x + 80) + 4 {(6 x - 8)}^{2})$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (3 (3 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 80 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Этап 3.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 80 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Этап 3.1.1.2.2

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 3 \cdot 80 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Этап 3.1.1.2.3

Умножим $3$ на $80$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 {(6 x - 8)}^{2})]$

Этап 3.1.1.3

Перепишем ${(6 x - 8)}^{2}$ в виде $(6 x - 8) (6 x - 8)$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 ((6 x - 8) (6 x - 8)))]$

Этап 3.1.1.4

Развернем $(6 x - 8) (6 x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 x (6 x - 8) - 8 (6 x - 8)))]$

Этап 3.1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 x (6 x) + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x - 8)))]$

Этап 3.1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 x (6 x) + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Этап 3.1.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Этап 3.1.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Этап 3.1.1.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Этап 3.1.1.5.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} + 6 x \cdot - 8 - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Этап 3.1.1.5.1.4

Умножим $- 8$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 48 x - 8 (6 x) - 8 \cdot - 8))]$

Этап 3.1.1.5.1.5

Умножим $6$ на $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 48 x - 48 x - 8 \cdot - 8))]$

Этап 3.1.1.5.1.6

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 48 x - 48 x + 64))]$

Этап 3.1.1.5.2

Вычтем $48 x$ из $- 48 x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2} - 96 x + 64))]$

Этап 3.1.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 4 (36 x^{2}) + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 64)]$

Этап 3.1.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.7.1

Умножим $36$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 144 x^{2} + 4 (- 96 x) + 4 \cdot 64)]$

Этап 3.1.1.7.2

Умножим $- 96$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 144 x^{2} - 384 x + 4 \cdot 64)]$

Этап 3.1.1.7.3

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (9 x^{2} - 24 x + 240 + 144 x^{2} - 384 x + 256)]$

Этап 3.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Добавим $9 x^{2}$ и $144 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 24 x + 240 - 384 x + 256)]$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $384 x$ из $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 240 + 256)]$

Этап 3.1.2.3

Добавим $240$ и $256$ .

$\frac{d}{d x} [18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)]$

Этап 3.1.3

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)]$ .

$18 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 x^{2} - 408 x + 496)]$

Этап 3.2

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} \frac{d}{d x} [153 x^{2} - 408 x + 496] + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $153 x^{2} - 408 x + 496$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [153 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (\frac{d}{d x} [153 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.3.2

Поскольку $153$ является константой относительно $x$ , производная $153 x^{2}$ по $x$ равна $153 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (153 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $153$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x + \frac{d}{d x} [- 408 x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 408$ является константой относительно $x$ , производная $- 408 x$ по $x$ равна $- 408 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.3.7

Умножим $- 408$ на $1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 + \frac{d}{d x} [496]) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.3.8

Поскольку $496$ является константой относительно $x$ , производная $496$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408 + 0) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.3.9

Добавим $306 x - 408$ и $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7}])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) (7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} - 8 x + 80$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (153 x^{2} - 408 x + 496) (7 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80]))$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $7$ влево от $153 x^{2} - 408 x + 496$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 \cdot (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 80])$

Этап 3.5.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 8 x + 80$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 3.5.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 3.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 3.5.5

Умножим $2$ на $3$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 3.5.6

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 3.5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 3.5.8

Умножим $- 8$ на $1$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 + \frac{d}{d x} [80]))$

Этап 3.5.9

Поскольку $80$ является константой относительно $x$ , производная $80$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8 + 0))$

Этап 3.5.10

Добавим $6 x - 8$ и $0$ .

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 7 (153 x^{2} - 408 x + 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + (7 (153 x^{2}) + 7 (- 408 x) + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$18 ({(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408)) + 18 ((7 (153 x^{2}) + 7 (- 408 x) + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Этап 3.6.3

Умножим $153$ на $7$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 ((1071 x^{2} + 7 (- 408 x) + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Этап 3.6.4

Умножим $- 408$ на $7$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 ((1071 x^{2} - 2856 x + 7 \cdot 496) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Этап 3.6.5

Умножим $7$ на $496$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 ((1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8))$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ из $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408) + 18 (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.6.1

Вынесем множитель $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ из $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{7} (306 x - 408)$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408)) + 18 (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8)$

Этап 3.6.6.2

Вынесем множитель $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ из $18 (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} (6 x - 8)$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$

Этап 3.6.6.3

Вынесем множитель $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6}$ из $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408)) + 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$ .

$f''' (x) = 18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408) + (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$

Этап 4

Третья производная $f (x)$ по $x$ равна $18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408) + (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$ .

$18 {(3 x^{2} - 8 x + 80)}^{6} ((3 x^{2} - 8 x + 80) (306 x - 408) + (1071 x^{2} - 2856 x + 3472) (6 x - 8))$