Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x}{5 x^{2} + 15}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{5 x^{2} + 15}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 15}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{5 x^{2} + 15}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 5 x^{2} + 15$ .

$2 \frac{(5 x^{2} + 15) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(5 x^{2} + 15) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $5 x^{2} + 15$ на $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 15]}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Умножим $2$ на $5$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x + \frac{d}{d x} [15])}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.7

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - x (10 x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.3.8.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x \cdot x}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 (x^{1} x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 (x^{1} x^{1})}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x^{1 + 1}}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{5 x^{2} + 15 - 10 x^{2}}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.8

Вычтем $10 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$2 \frac{- 5 x^{2} + 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.9

Объединим $2$ и $\frac{- 5 x^{2} + 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 5 x^{2} + 15)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- 5 x^{2}) + 2 \cdot 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 2 \cdot 15}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 30}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.3

Вынесем множитель $10$ из $- 10 x^{2} + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Вынесем множитель $10$ из $- 10 x^{2}$ .

$\frac{10 (- x^{2}) + 30}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.3.2

Вынесем множитель $10$ из $30$ .

$\frac{10 (- x^{2}) + 10 (3)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.3.3

Вынесем множитель $10$ из $10 (- x^{2}) + 10 (3)$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 (x^{2}) + 15)}^{2}}$

Этап 1.10.4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 x^{2} + 5 \cdot 3)}^{2}}$

Этап 1.10.4.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 5 \cdot 3$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{{(5 (x^{2} + 3))}^{2}}$

Этап 1.10.4.2

Применим правило умножения к $5 (x^{2} + 3)$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{5^{2} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.4.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{10 (- x^{2} + 3)}{25 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.5

Сократим общий множитель $10$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.5.1

Вынесем множитель $5$ из $10 (- x^{2} + 3)$ .

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{25 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25 {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{5 (5 {(x^{2} + 3)}^{2})}$

Этап 1.10.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (2 (- x^{2} + 3))}{5 (5 {(x^{2} + 3)}^{2})}$

Этап 1.10.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (- x^{2} + 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) + 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.7

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x^{2} - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.9

Перепишем $- (x^{2} - 3)$ в виде $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{2} - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.10.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{2 (x^{2} - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{2}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2 (x^{2} - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ по $x$ равна $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Этап 2.2

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.3.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - (x^{2} - 3) (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 3$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 2 (x^{2} - 3) (2 \cdot (x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.5.5.3

Умножим $\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ на $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{(2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)) \cdot 2}{{(x^{2} + 3)}^{4} \cdot 5}$

Этап 2.5.5.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.4.1

Перенесем $2$ влево от $2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x)$ .

$- \frac{2 \cdot (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{{(x^{2} + 3)}^{4} \cdot 5}$

Этап 2.5.5.4.2

Перенесем $5$ влево от ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x - 4 (x^{2} - 3) ((x^{2} + 3) x))}{5 \cdot {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) ((x^{2} + 3) x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 {(x^{2} + 3)}^{2} x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1

Перепишем ${(x^{2} + 3)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ .

$- \frac{2 (2 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.2

Развернем $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3)) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3.2

Добавим $3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (2 (x^{4} + 6 x^{2} + 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 2 (6 x^{2}) + 2 \cdot 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.5.1

Умножим $6$ на $2$ .

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 2 \cdot 9) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$- \frac{2 ((2 x^{4} + 12 x^{2} + 18) x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 x^{4} x + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2 (2 (x^{1} x^{4}) + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (2 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{2} x + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 (x^{1} x^{2}) + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{1 + 2} + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{2 (2 x^{5} + 12 x^{3} + 18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (2 x^{5}) + 2 (12 x^{3}) + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.9.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 2 (12 x^{3}) + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.9.2

Умножим $12$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 2 (18 x) + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.9.3

Умножим $18$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.10

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.11.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.11.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2} x^{1} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.11.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.11.2

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 ((- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.12

Развернем $(- 4 x^{2} + 12) (x^{3} + 3 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + 3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 (x^{3} + 3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} (3 x) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{2} x + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.13.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{1 + 2} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 \cdot 3 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (3 x))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.1.5

Умножим $3$ на $12$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.2

Добавим $- 12 x^{3}$ и $12 x^{3}$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.13.3

Добавим $- 4 x^{5}$ и $0$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5} + 36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.15

Умножим $- 4$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x - 8 x^{5} + 2 (36 x)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.16

Умножим $36$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x - 8 x^{5} + 72 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.2

Вычтем $8 x^{5}$ из $4 x^{5}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 36 x + 72 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.4.3

Добавим $36 x$ и $72 x$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{5} + 24 x^{3} + 108 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x^{5}$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 24 x^{3} + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $24 x^{3}$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2}) + 108 x}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $108 x$ .

$- \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2}) + 4 x (27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- x^{4}) + 4 x (6 x^{2})$ .

$- \frac{4 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 4 x (27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (- x^{4} + 6 x^{2}) + 4 x (27)$ .

$- \frac{4 x (- x^{4} + 6 x^{2} + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- \frac{4 x (- u^{2} + 6 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.4.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 u$ .

$- \frac{4 x (- u^{2} + 6 (u) + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.1.2

Запишем $6$ как $- 3$ плюс $9$

$- \frac{4 x (- u^{2} + (- 3 + 9) u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{4 x (- u^{2} - 3 u + 9 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- \frac{4 x ((- u^{2} - 3 u) + 9 u + 27)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- \frac{4 x (u (- u - 3) - 9 (- u - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u - 3$ .

$- \frac{4 x ((- u - 3) (u - 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- \frac{4 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{4 x ((- x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.5.7

Разложим на множители.

$- \frac{4 x (- x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6

Сократим общий множитель $- x^{2} - 3$ и ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2}) - 3) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2}) - 1 (3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$- \frac{4 x (- (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.4

Перепишем $- (x^{2} + 3)$ в виде $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$- \frac{4 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.5

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $4 x (- 1 (x^{2} + 3)) (x + 3) (x - 3)$ .

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 2.6.6.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $5 {(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 3) (5 {(x^{2} + 3)}^{3})}$

Этап 2.6.6.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{(x^{2} + 3) ((4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 3) (5 {(x^{2} + 3)}^{3})}$

Этап 2.6.6.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{(4 x \cdot (- 1) (x + 3)) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.6.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{- 4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{(4 x (x + 3)) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.6.9

Умножим $- - \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.6.9.2

Умножим $\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x (x + 3) (x - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{3}}$ по $x$ равна $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 3)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 3)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}]$

Этап 3.2

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 3) (x - 3)] - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{({(x^{2} + 3)}^{3})}^{2}}$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 3)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 3) (x - 3)] - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x (x + 3) (x - 3)] - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x (x + 3)$ и $g (x) = x - 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.5.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.5.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x (x + 3)]) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.6

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.7.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.7.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x + (x + 3) \frac{d}{d x} [x])) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x + (x + 3) \cdot 1)) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.7.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (x + x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.7.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{3}]}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - x (x + 3) (x - 3) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.9

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.9.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 3)}^{2}$ из ${(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 3)}^{2}$ из ${(x^{2} + 3)}^{3} (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3))$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3))) - 3 x (x + 3) (x - 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.9.2.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 3)}^{2}$ из $- 3 x (x + 3) (x - 3) ({(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3))) + {(x^{2} + 3)}^{2} (- 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.9.2.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 3)}^{2}$ из ${(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3))) + {(x^{2} + 3)}^{2} (- 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{6}}$

Этап 3.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + 3)}^{2}$ из ${(x^{2} + 3)}^{6}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.11

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.13

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 3 x (x + 3) (x - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.14.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x (x + 3) (x - 3) x}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 (x^{1} x) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 (x^{1} x^{1}) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{1 + 1} (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.18

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{2} (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.19

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{(x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{2} (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x (x + 3) + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{2} (x + 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x \cdot x + x \cdot 3 + (x - 3) (2 x + 3)) - 6 x^{2} (x + 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x \cdot x + x \cdot 3 + (x - 3) (2 x + 3)) + (- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x \cdot x + x \cdot 3 + (x - 3) (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + x \cdot 3 + (x - 3) (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 \cdot x + (x - 3) (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.3

Развернем $(x - 3) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x + 3))) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + x (2 x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x \cdot x + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.1.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + x \cdot 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.4.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 3 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.4.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 3 \cdot 3)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.4.1.5

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.1.4.2

Вычтем $6 x$ из $3 x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 3 x - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.2.1

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 2 x^{2} + 0 - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.2.2

Добавим $x^{2} + 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 2 x^{2} - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.3

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$\frac{4 ((x^{2} + 3) (3 x^{2} - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.4

Развернем $(x^{2} + 3) (3 x^{2} - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x^{2} (3 x^{2} - 9) + 3 (3 x^{2} - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2} - 9)) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.5.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.5.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{4 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 9 + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.5.1.3

Перенесем $- 9$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 9 \cdot x^{2} + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.5.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 9 x^{2} + 9 x^{2} + 3 \cdot - 9) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.5.1.5

Умножим $3$ на $- 9$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 9 x^{2} + 9 x^{2} - 27) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.5.2

Добавим $- 9 x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{4} + 0 - 27) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.5.3

Добавим $3 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{4 (3 x^{4} - 27) + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (3 x^{4}) + 4 \cdot - 27 + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.7

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12 x^{4} + 4 \cdot - 27 + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.8

Умножим $4$ на $- 27$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.9.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 (x \cdot x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.9.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 (x^{1} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 x^{1 + 2} - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.9.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 x^{3} - 6 x^{2} \cdot 3) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.9.2

Умножим $3$ на $- 6$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 ((- 6 x^{3} - 18 x^{2}) (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.10

Развернем $(- 6 x^{3} - 18 x^{2}) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{3} (x - 3) - 18 x^{2} (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{3} x - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} (x - 3))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{3} x - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.11.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.11.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 (x \cdot x^{3}) - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.11.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 (x^{1} x^{3}) - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{1 + 3} - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.1.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} - 6 x^{3} \cdot - 3 - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.1.2

Умножим $- 3$ на $- 6$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{2} x - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.11.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 (x \cdot x^{2}) - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.4.1.11.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 (x^{1} x^{2}) - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{1 + 2} - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{3} - 18 x^{2} \cdot - 3)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.1.4

Умножим $- 3$ на $- 18$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{3} + 54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.2

Вычтем $18 x^{3}$ из $18 x^{3}$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 0 + 54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.11.3

Добавим $- 6 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4} + 54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{4} - 108 + 4 (- 6 x^{4}) + 4 (54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.13

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 - 24 x^{4} + 4 (54 x^{2})}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.1.14

Умножим $54$ на $4$ .

$\frac{12 x^{4} - 108 - 24 x^{4} + 216 x^{2}}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.4.2

Вычтем $24 x^{4}$ из $12 x^{4}$ .

$\frac{- 12 x^{4} - 108 + 216 x^{2}}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 12 x^{4} + 216 x^{2} - 108}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.6

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{4} + 216 x^{2} - 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.6.1

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{4}$ .

$\frac{12 (- x^{4}) + 216 x^{2} - 108}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.6.2

Вынесем множитель $12$ из $216 x^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{4}) + 12 (18 x^{2}) - 108}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.6.3

Вынесем множитель $12$ из $- 108$ .

$\frac{12 (- x^{4}) + 12 (18 x^{2}) + 12 (- 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.6.4

Вынесем множитель $12$ из $12 (- x^{4}) + 12 (18 x^{2})$ .

$\frac{12 (- x^{4} + 18 x^{2}) + 12 (- 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.6.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (- x^{4} + 18 x^{2}) + 12 (- 9)$ .

$\frac{12 (- x^{4} + 18 x^{2} - 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$\frac{12 (- (x^{4}) + 18 x^{2} - 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.8

Вынесем множитель $- 1$ из $18 x^{2}$ .

$\frac{12 (- (x^{4}) - (- 18 x^{2}) - 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4}) - (- 18 x^{2})$ .

$\frac{12 (- (x^{4} - 18 x^{2}) - 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.10

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$\frac{12 (- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4} - 18 x^{2}) - 1 (9)$ .

$\frac{12 (- (x^{4} - 18 x^{2} + 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.12

Перепишем $- (x^{4} - 18 x^{2} + 9)$ в виде $- 1 (x^{4} - 18 x^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (- 1 (x^{4} - 18 x^{2} + 9))}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.20.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{12 (x^{4} - 18 x^{2} + 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 4

Третья производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{12 (x^{4} - 18 x^{2} + 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$ .

$- \frac{12 (x^{4} - 18 x^{2} + 9)}{5 {(x^{2} + 3)}^{4}}$