Математический анализ Примеры

$g (x) = x f^{- 1} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{1}{f} x]$

Этап 1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{f}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{f} x]$

Этап 1.3

Объединим $\frac{x}{f}$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x}{f}]$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1} x}{f}]$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1} x^{1}}{f}]$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{1 + 1}}{f}]$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{f}]$

Этап 1.8

Поскольку $\frac{1}{f}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{f}$ по $x$ равна $\frac{1}{f} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{f} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{f} (2 x)$

Этап 1.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{f}$ .

$\frac{2}{f} x$

Этап 1.10.2

Объединим $\frac{2}{f}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{f}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{2}{f}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{f}$ по $x$ равна $\frac{2}{f} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{f} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{f} \cdot 1$

Этап 2.3

Умножим $\frac{2}{f}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{f}$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{f}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{f}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = 0$

Этап 4

Третья производная $g (x)$ по $x$ равна $0$ .

$0$