Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 a^{3 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 a^{3 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = a$ и $g = 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 1.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$3 (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 1.3.2.2

Умножим $x$ на $0$ .

$3 (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 1.3.2.3

Умножим $0$ на $a^{3 x - 1}$ .

$3 (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 1.3.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$3 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln (a))$

Этап 1.3.4

Умножим $3$ на $3$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln (a))$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 \cdot 1 (a^{3 x} \ln (a))$

Этап 1.3.6

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (x) = 9 a^{3 x} \ln (a)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $9 \ln (a)$ является константой относительно $x$ , производная $9 a^{3 x} \ln (a)$ по $x$ равна $9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$9 \ln (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Этап 2.2

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 \ln (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$9 \ln (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 2.3.2.2

Умножим $x$ на $0$ .

$9 \ln (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 2.3.2.3

Умножим $0$ на $a^{3 x - 1}$ .

$9 \ln (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 2.3.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$9 \ln (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 2.4

Возведем $\ln (a)$ в степень $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln (a))))$

Этап 2.5

Возведем $\ln (a)$ в степень $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{1} (a) \ln^{1} (a))))$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{1 + 1}))$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{2} (a)))$

Этап 2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Этап 2.9

Умножим $3$ на $9$ .

$27 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$27 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{2} (a))$

Этап 2.11

Умножим $27$ на $1$ .

$f'' (x) = 27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $27 \ln^{2} (a)$ является константой относительно $x$ , производная $27 a^{3 x} \ln^{2} (a)$ по $x$ равна $27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$27 \ln^{2} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Этап 3.2

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 3.3.2.2

Умножим $x$ на $0$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 3.3.2.3

Умножим $0$ на $a^{3 x - 1}$ .

$27 \ln^{2} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 3.3.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$27 \ln^{2} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 3.4

Возведем $\ln (a)$ в степень $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{2} (a) \ln^{1} (a))))$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{2 + 1}))$

Этап 3.6

Добавим $2$ и $1$ .

$27 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{3} (a)))$

Этап 3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Этап 3.8

Умножим $3$ на $27$ .

$81 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$81 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{3} (a))$

Этап 3.10

Умножим $81$ на $1$ .

$f''' (x) = 81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $81 \ln^{3} (a)$ является константой относительно $x$ , производная $81 a^{3 x} \ln^{3} (a)$ по $x$ равна $81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$ .

$81 \ln^{3} (a) \frac{d}{d x} [a^{3 x}]$

Этап 4.2

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [a] (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (3 x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 (x a^{3 x - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 4.3.2.2

Умножим $x$ на $0$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 a^{3 x - 1} + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 4.3.2.3

Умножим $0$ на $a^{3 x - 1}$ .

$81 \ln^{3} (a) (0 + \frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 4.3.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a))$ .

$81 \ln^{3} (a) (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln (a)))$

Этап 4.4

Возведем $\ln (a)$ в степень $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} (\ln^{3} (a) \ln^{1} (a))))$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} {\ln (a)}^{3 + 1}))$

Этап 4.6

Добавим $3$ и $1$ .

$81 (\frac{d}{d x} [3 x] (a^{3 x} \ln^{4} (a)))$

Этап 4.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$81 (3 \frac{d}{d x} [x]) (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Этап 4.8

Умножим $3$ на $81$ .

$243 \frac{d}{d x} [x] (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Этап 4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$243 \cdot 1 (a^{3 x} \ln^{4} (a))$

Этап 4.10

Умножим $243$ на $1$ .

$f^{4} (x) = 243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$ .

$243 a^{3 x} \ln^{4} (a)$