Математический анализ Примеры

$g (x) = \frac{x^{2} - 49}{x + 7}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 49$ и $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 49] - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 49$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$\frac{(x + 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x + 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 49]) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 49$ является константой относительно $x$ , производная $- 49$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 7) (2 x + 0) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x + 7) (2 x) - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x + 7$ .

$\frac{2 \cdot (x + 7) x - (x^{2} - 49) \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.5

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{2 (x + 7) x - (x^{2} - 49) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - (x^{2} - 49) (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.7

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - (x^{2} - 49) (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - (x^{2} - 49) \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - (x^{2} - 49)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 7) x - (x^{2} - 49)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 7 x - (x^{2} - 49)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 7 x - x^{2} - - 49}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 7 x - x^{2} - - 49}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 7 x - x^{2} - - 49}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{2 x^{2} + 14 x - x^{2} - - 49}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 49$ .

$\frac{2 x^{2} + 14 x - x^{2} + 49}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x + 49}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x + 7^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Этап 1.3.5.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\frac{{(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель ${(x + 7)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x + 7)}^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 1$

Этап 2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = 0$

Этап 4

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Этап 5

Четвертая производная $g (x)$ по $x$ равна $0$ .

$0$