Математический анализ Примеры

$f (x) = {(1 - x)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 - x)}^{2}$ в виде $(1 - x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x) (1 - x)]$

Этап 1.2

Развернем $(1 - x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [1 (1 - x) - x (1 - x)]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)]$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x \cdot 1 - x (- x)]$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - x (- x)]$

Этап 1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x]$

Этап 1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)]$

Этап 1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}]$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + 1 x^{2}]$

Этап 1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x - x + x^{2}]$

Этап 1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x + x^{2}]$

Этап 1.4

По правилу суммы производная $1 - 2 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 + 2 x$

Этап 1.11

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = 0$

Этап 4

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $0$ .

$0$